复合函数的极限运算法则

一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则第三节极限运算法则第二章,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx则)]()([lim0xgxfxx)(lim)(lim00xgxfxxxxBA定理2.5若(1))]()([lim0xgxfxx)(lim)(lim00xgxfxxxxBA(2)若B≠0,则有)()(lim0xgxfxx)(lim)(lim00xgxfxxxxBA(3)一、极限的四则运算法则证200xx时,有.2)(Bxg,,min21取,00xx则当时,有][)]()([BAxgxf])([])([BxgAxf,22当(1)由可知,0,0,021使得当100xx时,有,2)(Axf,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx因此B)x(gA)x(fABxgxf)()((2)ABxBfxBfxgxf)()()()(Bxgxf)()(AxfB)(Axfxx)(lim0,0ε使得时，有当100xxAxf)(01由ABxgxfxx)]()([lim0需证：及定理2.2知，,0M及及Mxf)(上有界在某)()(0xUxf时，当100xx,0ε01Mxf)(Axf)(有Bxgxx)(lim0又由知,使得当时，200xxBxg)(,02,},{min21取则ABxgxf)()(Bxgxf)()(AxfB)(BM对于上述0,有?/2C因此BMC2C2CCCC22,00xx时,有当C2/其中.,maxBMCAB(3))0()()(lim0BBAxgxfxx需证：Bxgxx)(lim0由及定理2.2知，,0,0M及0使得当00xx时,有由于MBBxg)(及,)(1Mxg所以Bxg1)(1MBMB1由(2),需证当B≠0时因此从而(3)式成立.若,lim,limByAxnnnn则有)(lim)1(nnnyxnnnyxlim)2(,0)3(时当BBAyxnnnlimBABA注运算法则,有相应的结论.及x→∞时函数极限的四则例如,对于数列极限,对于数列极限有以下结论:数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理2.5直接得出.,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx(极限运算的线性性质)若以上运算法则对有限个函数成立.推论和μ是常数，则于是有——幂的极限等于极限的幂求).52(lim22xxx解)52(lim22xxx5limlim)(lim22222xxxxx52)lim(222xx例1极限运算的线性性质结论：)(lim1100nnnxxaxaxannnaxaxa10100幂的极限等于极限的幂53222.531lim232xxxx解)53(lim22xxx5lim3limlim2222xxxxx5limlim3)lim(2222xxxxx52322,03531lim232xxxx.373123例2商的极限等于极限的商)53(lim)1(lim2232xxxxx一般地，设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(,)(xQxP都是多项式,，则若0)(0xQ)(lim0xRxx)(lim)(lim00xQxPxxxx)(0xR注若不能直接用商的运算法则.请看下例:结论：)(lim0xRxx)(0xR)0)((0xQ解)32(lim21xxx,0商的极限法则不能直接用321lim21xxxx称31lim1xx.41例3.321lim21xxxx求由极限定义x→1，x≠1,0)1(lim1xx又为.00型极限321lim21xxxx约去无穷小因子法型）（00)1)(3(1lim1xxxx“抓大头”.147532lim2323xxxxx求分析)(型147532lim2323xxxxx.72可以先用x3同时去除分子和分母,然后再取极限.)147(lim)532(lim33xxxxxx例4.分母的极限都是无穷大分子,时,x33147532limxxxxx解结论：为非负常数)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110消去无穷大因子法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以消去无穷大因子,然后再求极限..81221lim32xxx求例5解分析型，先通分，再用极限法则.原式)42)(2()2)(4(lim22xxxxxx424lim22xxxx.21812)42(lim322xxxx882lim322xxxx)00()(型例6解.21lim32323nnnnn求原式)12)(1(611lim3nnnnnnnn1211lim61.31无穷多项和的极限公式求和变为有限项定理上有界在设。),()(10xUxf证的无穷小，即，0)(lim0xgxx.0)()(lim0xgxfxx(有界函数与无穷小的乘积是无穷小)则，使得常数0M时，当100xx恒有.)(Mxf时是当上有界，在设。010)(),()(xxxgxUxfMM,},,min{21取,0)()(xgxf)()(xgxf时使得当2020,0xx.)(Mxg恒有恒有则当,00xx.0)()(lim0xgxfxx0)(lim0xgxx又例如，xxx1sinlim0=0)11sin,0lim(0xxx二、复合函数的极限运算法则定理2.6设当100xx时,,)(axu又则有])([lim0xfxxAufau)(lim①注1°定理2.6中的条件：),(,)(10xUxax不可少.否则，定理2.6的结论不一定成立.原因：.)()(lim无关是否存在与afufau反例0)(,0,10,0)(xuuuf设.0,0aRx取,0)(lim0xxx00lim)(lim00uuuf，但由于1)]([xf)(a虽然所以1)]([lim0xfxx.0)(lim0ufu，且或若))(lim()(lim0xxxxx，且若)()(lim)(lim0afufaxauxx则)]([lim0xfxx2°定理2.6的其他形式(1)(2)则有])([lim)(0xfxxx或.)(limAufu).()(limafufau由定理2.6，知)(limufau])([lim0xfxx在求复合函数极限时,可以作变量代换，得到且代换是双向的，即)(limufau].)([lim0xfxx)(xuux)(例7求解令.93lim23xxx93)(2xxxu于是ux3lim61从而原式=61.66)3)(3(3lim3xxxx从左向右用①式Aufau)(lim①93lim23xxx型）（00内容小结1.极限运算法则(1)极限四则运算法则(2)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法0)1xx时,用代入法(分母不为0)0)2xx时,对00型,约去零因子x)3时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法：设中间变量，变量代换.或先有理化后约分1.在自变量的某个极限过程中，若存在，不存在，那么)(limxf)(limxg)]()([limxgxf(1)是否一定不存在？为什么?(2))()(limxgxf是否一定不存在？(3)又加条件：,0)(limAxf)()(limxgxf是否一定不存在？思考题?321lim2222nnnnnn2.答：一定不存在．存在，假设)]()([limxgxf存在)(limxf由极限运算法则可知：)}()()(lim{)(limxfxgxfxg必存在，这与已知矛盾，故假设错误．思考题解答)]()([limxgxf(1)是否一定不存在？为什么?1.在自变量的某个极限过程中，若存在，不存在，那么)(limxf)(limxg答：不一定.反例：①xxgxxf1sin)(,)(不存在，但)(lim,0)(lim00xgxfxx.01sinlim)()(lim00存在xxxgxfxx②，xxgxf1sin)(,1)(.)()(lim0不存在xgxfx(2))()(limxgxf是否一定不存在？1.在自变量的某个极限过程中，若存在，不存在，那么)(limxf)(limxg答：一定不存在.（可用反证法证明）(3)又加条件：,0)(limAxf)()(limxgxf是否一定不存在？1.在自变量的某个极限过程中，若存在，不存在，那么)(limxf)(limxg?321lim2222nnnnnn2.解原式22)1(limnnnn)11(21limnn.21备用题例3-1解.42lim4xxx求42lim4xxx)2)(4(4lim4xxxxxx21lim4先有理化再约去无穷小.41型）（00例3-2,0)0(2BA.2A从而,01)]1([3lim21xxBAxx已知.的值，试求常数BA解0)]}1([3{lim21xBAxx因为上式极限存在0于是1)]1([3lim21xxBAxx1)]1(2[3lim21xxBxx)123(lim21Bxxx2132lim[()]1xxBBBx11234)3(lim221xxxx11231lim221xxxx231lim21xxx.21解)(型13lim242nnnnn.0可以先用4n同时去除分子和分母,然后再取极限.)131(lim)11(lim4232nnnnxn例4-1.13lim242nnnnn求.分母的极限都是无穷大分子,时,n423213111limnnnnn例4-2)(xf设解根据前一极限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一极限式,得xxfx)(lim30可见是多项式,且,22)(lim23xxxfx,3)(lim0xxfx求.)(xf)(lim0xbax故)22(lim20xbaxxx例5-1已知0)11(lim2xxxx试确定常数.,)11()(2xxxxf解1)1()()1(2xxx0)(limxfx∵∴分子的次数必比分母的次数低故即.1,1)(型01例6-1解.11311211lim222nn求原式nnn1111311311211211lim.21121lim