级数求和的常用方法

四川师范大学本科毕业论文级数求和的常用方法学生姓名刘学江院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级2008级01班学号2008060122指导教师李红梅完成时间2012年4月30日级数求和的常用方法学生姓名：刘学江指导老师：李红梅内容摘要：级数在数值计算中有广泛的运用，级数首先要考虑其收敛性，在收敛级数中寻求可求和的方法.但在国内很多教材或其它数学书籍中没有专门的板块涉及级数求和的内容，即使是国内权威数学分析教材也只是作了级数逼近的工作.力求寻求级数求和的常用方法加以总结提炼，揭开级数和的神秘面纱.本文整体布局可分为部分：一、数项级数求和的常用方法二、函数项级数求和的常用方法.由于级数的敛散性是分析级数求和的先导，但是本文重在于讨论级数求和，所以级数敛散性内容讨论从简，且本文涉及的级数均收敛.在借鉴国内外优秀数学书籍的基础上，选取一些典型题目加以分析，使每一种方法尽可能以事实形式呈现出一种“方法技巧的实战运用”景象，在实例中说明方法，用实例体会方法.关键词：级数求和数项级数求和函数项级数求和CommonMethodsofSummingofSeriesAbstract:Serieswidelyusedinthenumericalcalculation,theseriesmustfirstconsideritsconvergence,covergentseriesforthesummabilitymethod.Inmanytextbooksorothermathematicalbooksforthesummationofournationalcontent,evenifthedomesticauthorityofmathematicalanalysistextbooksjustmadeaseriesapproximation.UndertheguidanceoftheteachersHonmeiLi,andstriketoseekthesummationofthecommonlyusedmethodtosumuprefining,openedthemysteryofseriesTheoverallofthisarticlecanbedividedintotwoparts:severalsummationofcommonlyusedmethods,commonmethodssummationforfuntionalsreies,seriessummation’stheory，Theconvergenceanddivergenceoftheseriesisthesummationanlysisofthepilot,butimportantpointistodiscussthesummation,sotheconvergenceoftheseriesdiscussionissimpleinthistext.Basedonexcellentbooksfromhomeandabroad,everymethodforseriessummationshowthefactthat“methodofskillinactualuse”sceneasfaraspossible.Keywords:sumofseriessumofnumerialseriessumoffunctionseries目录1数项级数求和......................................................11.1等差级数求和................................................11.2首尾相加法..................................................11.3等比级数求和................................................11.4错位相减法..................................................21.5蕴含型级数相消法............................................21.6有理化法求级数和............................................21.7方程式法....................................................31.8原级数转化为子序列求和......................................31.9数项级数化为函数项级数求和..................................31.10化数项级数为积分函数求原级数和.............................41.11三角型数项级数转化为复数系级数.............................41.12构造函数计算级数和.........................................51.13级数讨论其子序列...........................................51.14裂项法求级数和.............................................61.15裂项+分拆组合法............................................71.16夹逼法求解级数和...........................................72函数项级数求和....................................................82.1方程式法....................................................82.2积分型级数求和..............................................82.3逐项求导求级数和............................................92.4逐项积分求级数和............................................92.5将原级数分解转化为已知级数.................................102.6利用傅里叶级数求级数和.....................................102.7三角级数对应复数求级数和...................................112.8利用三角公式化简级数.......................................122.9针对2.7的延伸.............................................122.10添加项处理系数............................................122.11应用留数定理计算级数和....................................132.12利用Beta函数求级数和.....................................14参考文献...........................................................151级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题.由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性.1数项级数求和1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和.11((1)22nnaannsnad），其中1a为首项，d为公差证明：12=++...+nsaaa①，21s=+...++naaa②①+②得：12-112(+++...+(+)nnnsaaaaaa）因为等差级数11...+nnaaaa所以1(2nnaas）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2.1.2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和.例1:求01235...(21)nnnnncccnc.解：01235...(21)nnnnnscccnc，210(21)...53nnnnnsncccc，两式相加得：21012(22)(...)(1)2nnnnnnsnccccn，即：01235...(21)(1)2nnnnnncccncn.1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.当q=1，1sna；当q≠1，1(1)1naqsq，其中1a为首项，q为公比.证明：当q=1，易得1sna，当q≠1，11111=++...+nsaaqaq①，2111=++...+nqsaqaqaq②，2①-②得11(1)nqsaaq.可以导出一种方法“错位相减”见下1.41.4错位相减法此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比q，再与原级数四则运算后化为等差或等比级数求和.例2：计算212nn.解：2313521...2222nns①，21352121...222nns②，②-①得：121121212212112222nnnkkknkkkkknsss111121121213122212nnnnnn，limns=3.1.5蕴含型级数相消法此类型级数本身各项之间有蕴含关系，通过观察可知多项展开会相互之间相消部分项，从而化简级数求和.例3：计算1(212)niiii.解：将各项展开可得：(1223)(2234)...(221)(121)(212)snnnnnnnnn112-+1+21212nnnn，所以lim1-2ns.1.6有理化法求级数和对于一些级数通项含有分式根式的级数，我们可以仿照数学中经常使用的方法“有理化”处理，以期达到能使得级数通项化简，最后整个级数都较容易求和.例4：计算11(1)(1)nnnnn.解：可以看出此级数含根式较多，因此尝试运用有理化的方法去处理，即通项1(1)(1)nannnn，对其分母有理化得：1111-(1)(1)(1)1nnnnnnnnnn分母有理化，则原级数可以采用本文中的1.5“蕴含型级数相消法”，则可以快速求得级数和的极限为1.31.7方程式法此型级数通过一系列运算能建立级数和的方程式，通过解方程求解级数和.准确建立方程是关键问题，方程类型不固定，有类似与微分方程之类的，故要视具体情况建立方程，解方程也要准确，才能求出级数和.例5：计算2coscos2...cosnqqnq，其中1q.解：记2coscos2...cos=nqqnsq==1cosnkkkq两边同时乘以cos2q得+1+1=1=1coscoscos=2=2cos+1+cos-1)nnkkkkkkkqsqq（）（即：+1222coscos+1cos)(cos)2=nnnnqsqsqqqsq（）（解此方程得：2122coscos(1)cos=12cosnnqnqnqqsqq22limcos12cosnqqs