练习题

1.的近似值。库塔法求—校正法和经典四阶龙格—预估分别用欧拉，，求解初值问题取步长)2.0()0(2)0(382.0yxyydxdyh3004.2)2.0()2.0(38)1.0(38)1.0(3838)22(62.0)2(28.2)2.0(58.012.1))4.06.1(3838(1.04.06.1)38(2.011342312014321111)0(1yykykkykkykykkkkkyyyyyyyyyyyyynnnnnnnnnnnnnn库塔法：—经典四阶龙格校正法：—）欧拉预估解：（2.位小数）。的近似值（保留生公式计算积分化梯形公式和复化辛普个等距节点，分别用复取42115202dxx861953.0111111.0333333.02)181818.0666667.0(41[61:)12/2,2()2(868687.0]111111.0)181818.0333333.0666667.0(21[25.0:)5.04/2,4()1(111111.0181818.0333333.0666667.01)(20.115.00211)(5242ShnThnxfxxxfii复化梯形公式复化梯形公式个点对应的函数值解：3.__________631752284_____3445ULUAAAA，则的设矩阵，则设2100610284,9UA解：4.已知下列函数表：x0123f(x)13927⑴写出相应的三次Lagrange插值多项式；⑵作差商表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算f(1.5)的近似值138234)23)(13)(03()2)(1)(0()32)(12)(02()3)(1)(0()31)(21)(01()3)(2)(0()30)(20)(10()3)(2)(1()(1233xxxxxxxxxxxxxxxxL）解：（55.1)5.1()2)(1(34)1(221)(34618273269223110)2(33）（差商表：NNfxxxxxxx5.为多少？的代数精度）求积公式（。及，求）已知（)]1()0([121)]1()0([21)(2]6,5,4,3,2,1,0[]1,0[12622)(1''10256ffffdxxfffxxxxxf.3,61)1404(121)10(21,51)(,41)1303(121)10(21,41)(,31)1202(121)10(21,31)(,21)11(121)10(21,21)(100121112111)()2(2!6!62!6)(]6,5,4,3,2,1,0[41501)0()1(]1,0[512622)1(,1)0()1(334410442231033102210)6(所求代数精度为右；左右左时，当右；左右左时，当右；左右左时，当右；左右左时，当右；，左）（）（，右左时，当解：dxxxxfdxxxxfdxxxxfxdxxxfxffffffff-6.迭代格式。，写出给定线性代数方程组SeidelGaussxxx5434123200133214/)25(2/)34(3/)3()1(2)1(1)1(3)(3)1(2)(2)1(1nnnnnnnxxxxxxxSeidelGauss迭代格式为解：7.。迭代格式为的求解线性方程组____3696324913312321SeidelGaussxxx)6/(323(9/)46(12/)339()1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1nnnnnnnnnxxxxxxxxx解：8._____________________72322613112512AA，，则，设xxx10530解：9.。消去法解线性方程组用列主元9843312404113321xxxGauss1,1,14447474793312123332321xxxxxxxxx回代得：解：等价三角方程组为10.假设原始数据是精确的，试按三位舍入运算计算（164+0.913）-（143+21）和（164-143）+（0.913-21）的近似值，并确定它们各有几位有效数字。解：（164+0.913）-（143+21）或（164-143）+（0.913-21）的精确结果为A=0.913.（164+0.913）-（143+21）依三位舍入计算的结果为A*=165-164=1（164-143）+（0.913-21）的近似结果为A=21-20.1=0.9A*,A均有一位有效数字。11.改变下列表达式使计算结果比较精确：.1,0cos13;111)2(111211)1(xxxxxxxxxxxxx，对）（，对；，对-xxcoxxxxxxxxxxxcos1sin)1(sin)3(/1/1/22)21)(1(2122，），（）解：（12.设a=0.937关于精确数x有三位有效数字，估计a的相对误差，对于f(x)=x1,估计f(a)对于f(x)的误差和相对误差。3333223104110)(1025.0210).2/1(1111)()()(.10.18110.921)(,)(,10.21)(afEaxxaaxfxfafxxaxxEaxxarrrEEE为的误差和相对误差分别对于因此的相对误差，由于解：13.利用Lagrange插值多项式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）⑴xi-101/21fi-3-1/201⑵xi-101/21fi-3/2001/2（称为待定系数法），，定，由方法二，令可得插值公式方法一，由）为例进行解答解：以（BAL2/1)1(2/3)1())(21()()21()()(.)(.)(.)(.)(233323332211003LLBAxxxxxxxLxLfxLfxLfxLfxLLagrange14.设f(x)=x7+x3+1，试求：⑴f[30,31,…,37]；⑵f[20,21,…,28]0!8)(]2,...,2,2[]3,...,3,3[1!7)(,1)()8(810710)7(37ffffxxxf，有解：由15.直接验证梯形公式：babfafabdxxf)]()([2)(与中矩形公式：babafabdxxf2)()(具有1次代数精度，而Simpson公式：)(24)(6)(bfbafafabdxxfba则具有3次代数精度。解：以f(x)=1,x代入梯形公式和中矩形公式两边，结果相等，而以f(x)=x2代入公式两边，其结果不相等。故它们的代数精度等于1。容易验证：以f(x)=1,x,x2,x3分别代入Simpson公式两边，结果相等，而以x4代入，其结果两边不相等，故它的代数精度为3。16.求系数A1,A2和A3，使求积公式3131)1()(32111fAfAfAdxxf对于次数≤2的一切多项式都是精确成立的。23,0,21329191031312,,1)(3213213213212AAAAAAAAAAAxxxf解得：得值型求积公式，令解：求积公式是一个插A17.用Gauss逐步消去法解方程组230031322121321xxx解：x1=1，x2=-1，x3=118.用列主元消去法解方程组035232011120321xxx解：x1=-7/3，x2=16/3，x3=-17/319.举出一个方程，它有偶次重实根，但不能用二分法求出这个重实根。解：方程f(x)=(x-1)2(x-2)=0在[0,3]内有重根。由f(0)=-20,f(1.5)=-0.1250,f(3)=40知f(1.5).f(3)0。因此二分法在求根时将忽视区间[0,1.5]从而求不出重根x=1。20.为求方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近的一个根，现将方程改写为下列的等价形式，且建立相应的迭代公式：。，迭代公式为；，迭代公式为；，迭代公式为2/1123/12123212)1(111)3()1(1)2(1111)1(kkkkkkxxxxxxxxxxxx试分析每一种迭代公式的收敛性，任选一种收敛的迭代公式计算1.5附近的根。要求|xk+1-xk|10-5。解：取x0=1.5的邻域[1.3，1.6]来考查⑴L=0.9011，⑵L=0.55151，⑶L=1.07581所以，(1)和(2)收敛，(3)发散；且（2）收敛最快。21.什么叫数值稳定？答：在数值计算过程中，舍入误差在一定条件下能得到控制，或者舍入误差的增长不影响产生可靠的结果，则该计算是数值稳定的，否则是数值不稳定的。22.如何计算下列函数值才比较精确？111211xxx对解：要使计算准确，应该避免两近似数相减，故变换所给公式)1)(21(11211xxxxx23.用高斯消去法解下列线性方程组（1）564221231112321xxx解：x3=1，x2=1，x1=1（2）1354164328723321xxx解：x1=-1，x2=3，x3=124.用列主元消去法解下列线性方程组并求系数行列式11104423343112321xxx解：x3=1，x2=1，x1=3系数行列式detA=6025.已知向量x=(2，-3，4)T，矩阵A=420420001，求向量x和矩阵A的三种范数。243232)3200080001420420001440220001,)(86299422121AAAAAAAxxxxT，所以（从而而又由于，，的范数矩阵，，的范数解：向量AAAATT26.设f(x)=x4，用拉格朗日余项定理写出以-1,0,1，3为节点的三次插值多项式。。三次插值多项式解：xxxxLxxxxxxxxxxLxxxxxnfxLxfxRn33)()3)(()3)(1)(1()()3)(1)(0)(1(!4!4)()!1()()()()(23344)1(27.已知f(x)=shx的函数表xi00.200.300.50shxi00.201340.304520.52110求二次和三次牛顿插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用牛顿插值余项估计误差。解：根据给定函数表构造差商表xishxi一阶二阶三阶000.200.201341.00670.300