2016考研数学二模拟题及答案

2016年考研数学模拟试题（数学二）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设0x是多项式432()Pxxaxbxcxd的最小实根，则（）.（A）0()0Px（B）0()0Px（C）0()0Px（D）0()0Px解选择A.由于0lim()xxPx，又0x是多项式()Px的最小实根，故0()0Px.2.设3()()lim1xafxfaxa则函数()fx在点xa（）.（A）取极大值（B）取极小值（C）可导（D）不可导解选择D.由极限的保号性知，存在()Ua，当()xUa时，3()()0fxfaxa，当xa时，()()fxfa，当xa时，()()fxfa，故()fx在点xa不取极值.332()()()()1limlim()xaxafxfafxfaxaxaxa，所以()fx在点xa不可导.3.设(,)fxy连续，且满足(,)(,)fxyfxy，则221(,)xyfxydxdy（）.（A）211002(,)xdxfxydy（B）2211012(,)yydyfxydx（C）2211012(,)xxdxfxydy（D）211002(,)ydyfxydx解选择B.由题设知222222110111,0(,)2(,)2(,)yyxyxyyfxydxdyfxydxdydyfxydx.4.微分方程22exyyx的特解*y形式为（）.(A)*2()exyaxb(B)*2exyax(C)*22exyax(D)*22()exyaxbx解选择D.特征方程220rr，特征根0,2rr，2是特征根，特解*y形式为*2()exyxaxb.5.设函数()fx连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）.（A）20()xftdt（B）20()xftdt（C）0[()()]xtftftdt（D）0[()()]xtftftdt解选择C.由于[()()]tftft为奇函数，故0[()()]xtftftdt为偶函数.6.设在全平面上有0),(xyxf，0),(yyxf，则保证不等式1122(,)(,)fxyfxy成立的条件是（）（A）21xx，21yy.（B）21xx，21yy.（C）21xx，21yy.（D）21xx，21yy.解选择A.(,)0(,)fxyfxyx关于x单调减少，(,)0(,)fxyfxyy关于y单调增加，当21xx，21yy时，112122(,)(,)(,)fxyfxyfxy.7.设A和B为实对称矩阵，且A与B相似，则下列结论中不正确的是（）.(A)AE与BE相似(B)A与B合同(C)AEBE(D)AEBE解选择D.A与B相似可以推出它们的多项式相似，它们的特征多项式相等，故A，C正确，又A和B为实对称矩阵，且A与B相似，可以推出A与B合同，故B正确.8.nmAA，rAR)(，b为m维列向量，则有（）.(A)当rm时，方程组Axb有解(B)当nr时，方程组Axb有唯一解(C)当nm时，方程组Axb有唯一解(D)当nr时，方程组Axb有无穷多解解选择A.当rm时，,()rAbrA，方程组Axb有解.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）9.10(1)elimxxxx.解答案为e2.111ln(1)ln(1)1000(1)eeee1limlimelimxxxxxxxxxxxx01ln(1)1elimxxxx20011ln(1)e1elimelim22xxxxxxx10设f有二阶连续偏导数，(,,)ufxxyxyz，则2uzy.解答案为2233233xfxyfxyzf.3uxyfz2223323333233()uxfxyfxfxzxfxyfxyzfzy11.设微分方程()yxyxy的通解为lnxyCx，则()x.解答案为21x.将lnxyCx代入微分方程，得21(ln)lnCxCx，故21()xx.12.数列nn中最大的项为.解答案为33.【将数列的问题转化为函数的问题，以便利用导数解决问题】设11ln()exxxxfxxx，1ln21ln()e0xxxfxxex，ex时，()0fx，()fx单调增加，故en时，()nfnn递增，2最大，ex时，()0fx，()fx单调减少，故en时，()nfnn递减，33最大，又3663982，数列nn的最大项为33.13.方程805201xdtxt在区间(0,1)内的实根个数为.解答案为1.令80()521xdtfxxt，180(0)20,(1)301dtfft，由零点定理知，此方程在区间(0,1)内至少有一个实根，又81()501fxx，()fx单调增加，故此方程在区间(0,1)内有且仅有一个实根.14.设n阶矩阵A的秩为2n，123,,是非齐次线性方程组Axb的三个线性无关的解，则Axb的通解为.解答案为1121231()()kk，12,kk为任意常数.123,,是非齐次线性方程组Axb的三个线性无关的解，则2131,是0Ax的两个解，且它们线性无关，又()2nrA，故2131,是0Ax的基础解系，所以Axb的通解为1121231()()kk.三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分9分）求极限10[(1)e]sinln(1)lim.1sin1xxxxxx解1111ln(1)ln(1)10000[(1)e]sinln(1)(1)eeee1lim2lim2lim2elim1sin1xxxxxxxxxxxxxxxxxx01ln(1)1elimxxxx20011ln(1)12elim2elime2xxxxxxx16.（本题满分9分）设()fx单调且具有一阶连续导数，(())zfxy满足()0zzyxy，求可导函数()y.解zfx，()zfyy，代入方程()0zzyxy，得()()0yffy，即()()yy，解得()exyC，其中C为任意常数.17.（本题满分9分）计算积分2212223111(sin)yydyxyydx解画出二重积分区域D，1D是D的第一象限部分，由对称性，得2212223223111(sin)(sin)yyDdyxyydxxyydxdy12cos2224022()2Dxydxdydrdr34022022(8cos22)393d18.（本题满分11分）求微分方程2()0(0)yaya满足初始条件00xy，01xy的特解.解令,dpypydx，代入原方程，得20dpapdx，2dpadxp，2dpadxp，11axCp，由0,0,1xyyp，得11C，11axp，11pax，即11yax，故211ln(1)1ydxaxCaxa，由0,0xy得20C，所以1ln(1)yaxa.19.（本题满分11分）设()fx和()gx在区间(,)ab可导，并设在(,)ab内()()()0fxgxfx，证明在(,)ab内至多存在一点，使得()0f.证设()()()gxxfxe，则()()(()()())gxxefxfxgx.若在(,)ab内存在两个不同的点12,，使得12()()0ff，则由罗尔定理知，至少存在一点介于12,之间，使()0，即()(()()())0geffg，于是有()()()0ffg，与题设矛盾，故在(,)ab内至多存在一点，使得()0f.20.（本题满分11分）设有抛物线：2yabx，试确定常数,ab的值，使得⑴与直线1yx相切；⑵与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积最大.解设切点为00(,)xy，2ybx，切线斜率0001121,24kbxxyabb，代入切线方程，得11114(1)42aabbb.⑴又旋转体体积2230002()aaaayayVxdydydyaabb，22(23)0Vaa，解得0a或者23a，2(26)Va，2(0)40,()403VV，故23a时，体积V最大，将23a代入⑴得34b，所以23a，34b.21.（本题满分11分）一质量为m的物体以速度0v从原点沿y轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数0k），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最大高度.解根据牛顿第二定律，物体上升的高度()yyt所满足的微分方程为222dydymmgkdtdt，初始条件为0(0)0,(0)yyv.dyvdt代入方程，得2dvmmgkvdt，2dvkvgdtm，记22,kagbm，222dvabvdt，222dvdtabv，积分得1arctanbvtCaba，0t时，0vv，故01arctanbvCaba，011arctanarctanbvbvtabaaba，令0v，得上升到最高点的时间为011arctanbvtaba1arctan()bvabtta，1tan()avabttb上升的最大高度为11220112220011tan()lncos[()]ln(1)2ttbvayabttdtabttbbba.22.（本题满分11分）设TTTTT12341,2,3,1,1,1,2,1,1,3,,3,3,5,7,1,0,1,1,ab.⑴当,ab满足什么条件时，可由1234,,,线性表示，且表示式唯一？⑵当,ab满足什么条件时，可由1234,,,线性表示，且表示式不唯一？并求出的表示式.解设11223344xxxx⑴，其增广矩阵123411130111302135101111(,,,,)~327100410113100022aabb⑴当4a时，12341234(,,,,)(,,,)4rr，方程组⑴有唯一解，即可由1234,,,线性表示，且表示式唯一.⑵当4a时，12341113001111(,,,,)~0001000002b，故当4,2ab时，12341234(,,,,)(,,,)3rr，方程组⑴有无穷多解，即可由1234,,,线性表示，且表示式不唯一，12341020101101(,,,,)~0001000000，同解方程组为13233341210xxxxxxx，通