加权余量法

第1页/共21页加权余量法非线性有限元基于等效积分形式的近似方法——加权余量法汇报人:第2页/共21页加权余量法基于等效积分形式的近似方法——加权余量法当我们面对复杂的实际问题时，精确解往往是很难找到的，因此我们需要设法找到具有一定精度的近似解。加权余量法是一种基于等效积分形式的近似方法。1.基本思想对于微分方程和边界条件所表达的物理问题，假设未知场函数u可以采用近似函数来表示：其中，ai是待定参数；Ni（i=1，2...，n）是一组基函数（或试探函数、形函数），为已知函数，它取自完全的函数系列，是线性独立的。NaaNuu1iiin第3页/共21页加权余量法1.基本思想完全的函数系列——所谓完全的函数系列是指任一函数系列都可以此序列表示。另外，近似解通常要满足强制边界条件和连续性的要求。2.残差（或余量）由于近似解是不能满足精确微分方程式或全部边界条件式的，他们将产生残差（或余量）及：给微分方程的等效积分形式：中用n个规定的函数来代替任意函数及，即：（j=1~n）RR0duBvduAvTTvvjjWvWv,RNaARNaB第4页/共21页加权余量法1.基本思想就可以等到近似的积分形式：（j=1~n）亦可以写成余量的形式：（j=1~n）上述两个式子的实际意义是通过选定待定系数ai，强迫余量的加权积分值等于零。及称为权函数。这种方法就叫做加权余量法余量的加权积分为零就得到了一组求解方程，用以求解近似解的待定系数a，从而得到原问题的近似解答。近似函数所取试探函数的相数n越多，近似解的精度将越高；若n趋于无穷，近似解将收敛于精确解。0dNaBWdNaAWTjTj0dRWRdWTjTjjWjW第5页/共21页加权余量法2.等效积分“弱”形式对于等效积分“弱”形式，同样可以得到它的近似形式为：（j=1~n）0dNaFWEdNaDWCjTjT第6页/共21页加权余量法3.常用的加权余量法加权余量法是求微分方程近似解的一种有效方法，按照对权函数的不同选择就得到不同的加权余量的计算方法并予以不同的名称，常用的权函数的选择有以下几种：配点法（配置法）最小二乘法子域法力矩法伽辽金法第7页/共21页加权余量法3.1配点法（配置法）若域是独立坐标x的函数，则有如下性质：当x不等于xj时，但有：这种方法相当于简单的强迫余量在域内n个点上等于零。jjxxWjxx0jW1dWj（j=1~n）第8页/共21页加权余量法3.2最小二乘法当近似解取为时，权函数此方法的实质是使得函数取最小值。即要求iniiaNu1niiijjaNAaW1012daNAaIniiii0iaI（i=1~n）第9页/共21页加权余量法3.3子域法在n个子域内，在子域以外，此方法的实质是强迫余量在n个子域的积分为零j1jWj0jWj第10页/共21页加权余量法3.4力矩法以一维的问题为例，微分方程，取近似解并假定已满足边界条件，令：则得到此方法是强迫余量的各次矩等于零。通常又称此法为积分法。对于二维问题，0uAu,,,12xxWj0,0,02dxuAxdxuxAdxuA22,,,,,1yxyxyxWj第11页/共21页加权余量法3.5伽辽金法取，在边界上。即简单的利用近似解的试探函数序列作为权函数。近似积分形式可写为：定义近似解的变分为：其中为完全任意的，则积分形式可简单的表示为：jjNWjjjNWW011daNBNdaNANiniiTjniiiTjuunnaNaNaNu2211ia0duBuduAuTT第12页/共21页加权余量法4.例题解析求解二阶常微分方程：边界条件：当x=0时，u=0当x=1时，u=0取它的近似解为其中ai为待定参数，试探函数，，...显然近似解满足边界条件，但是不满足微分方程，所以会产生余量。余量的加权积分为零：022xudxud10xxaaxxu211xxN11xxxN1200RdxWjj①②③④第13页/共21页加权余量法4.例题解析为方便起见，我们只讨论一项和两项的近似解：一项近似解，n=1：代入，得余量为：两项近似解，n=2：余量为：xxau1112112xxaxxRxaaxxu2121322212622xxxaxxaxxR⑤⑥⑦⑧第14页/共21页加权余量法4.1例题解析——配点法一项近似解：取x=1/2作为配点，得到：解出来，得可以得一项近似解为：两项近似解，取三分点x=1/3及x=2/3作为配点，得到：解出来：可以得出两项的近似解为：047-21211aR7/21axxu17210a272916-313121aR02750-916-323221aaR1948.01a1731.02axxxu1731.01948.012第15页/共21页加权余量法4.2例题解析——最小二乘法将余量的二次方在域中积分：选择近似解的待定系数ai，使余量在全域的积分值达到极小。为此必须有：对ai求导，得到：由此得到n个方程，由此求解n个待定系数ai，将上式与式④比较可得，最小二乘法的权函数选择为：2RdRI20iaIni,,2,10daRRini,,2,1iiaRWni,,2,1第16页/共21页加权余量法4.2例题解析——最小二乘法一项近似解：代入求导式得到：解得：一项近似解为：2112xxaxxR2112xxaR0222102110111dxxxxxaxdxaRR2723.01axxu12723.01第17页/共21页加权余量法4.2例题解析——最小二乘法两项近似解：代入求导式得到两个方程：解得：两项近似解为：322212622xxxaxxaxxR21212xxaRW3222262xxxaRW026222103222110122dxxxxxxaxxaxdxaRR06-262232103222110222dxxxxxxxaxxaxdxaRR8751.01a6951.02axxxu1695.01875.012第18页/共21页加权余量法4.3例题解析——子域法一项近似解，子域取全域，即，当由④式可得：解得：求得一项近似解为：两项近似解，取由④式得到：解得：两项近似解为:11W10x061121211021101adxxxaxdxxR11/31axxu1113111W12W1210x2121x019253121181622212/10322212/102aadxxxxaxxaxdxxR1876.01a1702.02axxxu1720.01876.012第19页/共21页加权余量法4.4例题解析——力矩法一项近似解，取，由④式得到：解得：一项近似解：此结果与子域法的结果相同两项近似解：取，由④式得：解得：两项近似解为：11W061121211021101adxxxaxdxxR11/31axxu1113111WxW2019253121181622211032221102aadxxxxaxxaxdxxR06221043223212102dxxxxxaxxxaxdxxxR1880.01a6951.02axxxu1695.01880.012第20页/共21页加权余量法4.5例题解析——伽辽金法取近似函数作为权函数。一项近似解：取权函数：由④式得：解得：一项近似解：两项近似解：取权函数：由④式得：解得：两项近似解为：xxaaNu11111xxNW11102110211011dxxxaxxxdxxRN18/51axxu11851xxaxxaaNaNu1122122112xxNW111xxNW1222062211032221dxxxxaxxaxxx0622110322212dxxxxaxxaxxx1924.01a1707.02axxxu1707.01924.012第21页/共21页加权余量法5.方法对比这个问题的精确解是：用加权余量法的几种方法得到的近似解与精确解进行比较，可以发现在此类问题中取两项解已能得到较好的近似结果xxu1sinsin