复变函数留数

第五章留数§5.1孤立奇点1.定义2.分类3.性质4.零点与极点的关系5.函数在无穷远点的状态1.定义例如zezf1)(----z=0为孤立奇点zzf1sin1)(----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇点11)(zzf----z=1为孤立奇点定义.)(,0,)(0000的孤立奇点为则称内解析的某个去心邻域但在处不解析在若zfzzzzzzf~~~~~~~~~xyo这说明奇点未必是孤立的。的奇点存在，总有邻域内不论多么小的去心在但)(,0,01limzfznn的孤立奇点。不是故zz1sin102.分类以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：)!12()1(!5!31sin)1(242nzzzzznn特点：没有负幂次项!!211!!1)2(1010nzzznznzzzennnnnz特点：只有有限多个负幂次项nznzzez!1!211)3(211特点：有无穷多个负幂次项定义设z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数00)()()(nnnzzczfi没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;)1,0()()()(0mczzczfiimmnnn只有有限多个负幂次项，称z=z0为m阶极点;nnnzzczfiii)()()(0有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.性质.)()(000解析在补充定义：zzfczf000)(lim)()(0czfzzczfzznnn若z0为f(z)的可去奇点)1,0()()(0mczzczfmmnnn若z0为f(z)的m(m1)阶极点)()(1)()(lim00zgzzzfzfmzz.0)()(,)()()(:0020201zgzzzgzzczzcczgmmm内是解析函数且在其中422)1)(1(23)(zzzzzf例如：z=1为f(z)的一个三阶极点，z=i为f(z)的一阶极点。不存在，也不为负幂次项的洛朗级数有无穷多项)(lim)(zfzfn若z0为f(z)的本性奇点4.零点与极点的关系定义不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成)()()(0zzzzfmNmzzz,)(,0)(00点解析在其中：则称z=z0为f(z)的m阶零点。与三阶零点。的一阶分别是与3)1()(10zzzfzz例如：0)()()(0000zczzcznnn),)(,0)((00Nmzzz点解析在.0)()1,,2,1,0(0)()()()(0)(0)(0zfmnzfzzzzfmnm定理事实上，必要性得证！00)()(nmnnzzczf0!)(),1,,2,1,0(0)(:00)(0)(cmzfmnzfTaylormn而级数的系数公式有由充分性略！的零点。均为与3)1()(10zzzfzz例如zzzzf6)1(6)1(12)('''23)1(3)1()('zzzzf又0)1('f)1(6)1(6)(2zzzzf为一阶零点00)1()0('3zf为三阶零点1z06)1('''f0)1(''f阶极点的是若mzfz)(0定理:.)(10阶零点的是mzfz证明)()(1)(0zgzzzfm“”若z0为f(z)的m阶极点0)(,)(00zgzzg且解析在)()()()(1)()(1000zzzhzzzgzzzfmm.0)(,)(00zhzzh且解析在，令0)(1,0)(1lim00zfzfzz.)(10阶零点的是则mzfz则阶零点的是”若“,)(10mzfz)()()(10zzzzfm.0)(,)(00zzz且解析在)()(1)(1)(1)(000zzzzzzzfzzmm时，当.0)(,)(00zzz且解析在.)(0阶极点的是mzfz。如果是极点指出它的阶的奇点，求)1)(1()(2zezzzf例解显然，z=i是(1+z2)的一阶零点,2,1,0)12()12()2()1(1,01kikzikkiLnzeekzz故奇点为：即0)]12(sin)12([cos)'1()12()12(kikeekizzkizz的一阶零点是zkekkiz1),2,1,0()12(.)(),2,1()12(;)(一阶极点的为的二阶极点为zfkkizzfizk综合极点，指出它的阶数。如果是孤立奇点，奇点类型，练习：考察下列函数的)1(1)()1(2zezzfzzzf)1ln()()2(11)()5(23zzzzfzzzfsin1)()6(11)()7(zezf322sin)2()1()()8(zzzzf2211)()3(zzzf3sin)()4(zzzf5.函数在无穷远点的状态的孤立奇点。为内解析，那么称点在若函数)()(zfzRzf的状态相同。在的状态与在)1(0)(tftzfz由此得定义：展成幂级数在将函数,)(nnnnzczRzf定义规定。展式中含无穷项正幂项本性奇点为最高正幂；且展式中含有限项正幂阶极点展式中不含正幂项；可去奇点---,------mzm1.留数的定义2.留数定理3.留数的计算规则4.在无穷远点的留数§5.2留数(Residue)1.留数的定义rzzzzczfnnn000,)()(设cciczzdzcdzzfc1012)(逐项积分得：线对上式两边沿简单闭曲),)((00在其内部包含的孤立奇点是zczfz的奇点所围成的区域内含有未必为所围成的区域内解析在)(0)(0)(zfcczfdzzfc定义设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)–1的系数c–1称为f(z)在z0的留数，记作Res[f(z),z0]或Resf(z0)。由留数定义,Res[f(z),z0]=c–1(1))2()(21]),([Re10dzzficzzfsc故2.留数定理)3(]),([Re2)(,)(,,,,,)(,121nkkcnzzfsidzzfcczfzzzczfc则上解析内及在除此以外有限个孤立奇点内有在函数是一条简单闭曲线设定理,),2,1(,围绕内孤立奇点将曲线互不相交的正向简单闭用互不包含kkzcnkc证明Dcznz1z3z2nkknkcczzfsdzzfidzzfik11]),([Re)(21)(21nccccdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(21由复合闭路定理得：用2i除上式两边得:nkkczzfsidzzf1]),([Re2)(故得证！求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立奇点的留数。一般求Res[f(z),z0]是采用将f(z)在z0邻域内展开成洛朗级数求系数c–1的方法,但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利。0]),([Re0)(010zzfsczzi为可去奇点若以下就三类孤立奇点进行讨论：3.留数的计算规则规则有以下几条为极点时，求若]),([Re)(00zzfszziii规则I)4();()(lim]),([Re,)(0000zfzzzzfszfzzz的一阶极点是若1000]),([Re)()()(czzfszzczfzziinn展开为本性奇点若阶极点的是若mzfz)(0规则II)5()()(lim)!1(1]),([Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz事实上，由条件)0(,)()()()()(0101012020mmmczzcczzczzczzczf得乘上式两边以,)(0mzzmmmmmzzczzczzcczfzz)()()()()(00101010)(!)!1()}(){(101011zzmcmzfzzdzdmmmm阶导数得两边求.)5(,)!1()()(lim10110式移项得cmzfzzdzdmmmzz当m=1时，式(5)即为式(4).)6()(')(]),([Re,)(0)(',0)(,0)(,)(),()()()(00000000zQzPzzfszfzzQzQzPzzQzPzQzPzf且的一阶极点是处解析在设规则III事实上，,)(1,)(0)('0)(0000的一阶极点为从而的一阶零点为及zQzzQzzQzQ0)()()(1)(1,000zzzzzzzQ处解析且在因此),0)(,)()()(()(1)(000zgzzPzzgzgzzzf且解析在故得证！0)(')(')()()()(lim)()(lim]),([Re000000000zQzQzPzzzQzQzPzfzzzzfszzzz由规则阶极点的为则,)(0zfz22)1(25:zdzzzz计算例1解102)1(25)(2zzzzzzzf和一个二阶极点极点的内部有一个一阶在2)1(25lim)(lim]0),([Re200zzzzfzfszz由规则})1(25)1{()!12(1lim]1),([Re221zzzzdzdzfszII由规则22lim)'25(lim211zzzzz0]1),([Re2]0),([Re2)(2zfsizfsidzzfz2:14zcdzzzc正向计算例2解内，都在圆周个一阶极点有cizf,1:4)(23414)(')(zzzzQzP由规则0414141412]}),([Re]),([Re]1),([Re]1),([{Re214iizfsizfszfszfsidzzzc故13coszdzzz计算例3解的三阶极点有一个0cos)(3zzzzfiizfsidzzzz)21(2]0),([Re2cos1321')'(coslim21)]([)!13(1lim]0),([Re03220zzfzdzdzfszz　　由规则)(tanNnzdznz计算例4解),2,1,0(21,20coscossintankkzkzzzzz即解得令0csc)'(cot21212kzkzzz得由规则为一阶极点III,21kz),1,0(1)'(cossin21,tanRe21kzzkzskzninikzsizdznknz422,tanRe2tan2121故由留数定理得：(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。6sin)()()(zzzzQzPzf,)(001cos)0('0sin)0(0)cos1()0('0)0(000的三阶零点是由于zpzzpzpzppzzz如是f(z)的三阶极点。:)(级数展开作若将Laurentzfsinlim)!