复变函数试题及答案

一、填空题（每小题2分）1、复数i212的指数形式是2、函数w=z1将ZS上的曲线1122yx变成WS(ivuw)上的曲线是3.若01ze,则z＝4、ii1=5、积分idzz2222=6、积分1sin21zdzzzi7、幂级数01nnnzi的收敛半径R=8、0z是函数zez111的奇点9、1Re21zeszz10、将点,i,0分别变成0,i,的分式线性变换w二、单选题（每小题2分）1、设为任意实数，则1=（）A无意义B等于1C是复数其实部等于1D是复数其模等于12、下列命题正确的是（）Aii2B零的辐角是零C仅存在一个数z,使得zz1Dizzi13、下列命题正确的是（）A函数zzf在z平面上处处连续B如果af存在,那么zf在a解析C每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数4、根式31的值之一是（）Ai2321B223iC223iDi23215、下列函数在0z的去心邻域内可展成洛朗级数的是（）Az1sin1Bz1cosCzctge1DLnz6、下列积分之值不等于0的是()A123zzdzB121zzdzC1242zzzdzD1coszzdz7、函数zzfarctan在0z处的泰勒展式为（）A02121nnnnz（z1）B01221nnnnz（z1）C012121nnnnz（z1）D0221nnnnz（z1）8、幂级数nnnz201)1(在1z内的和函数是（）A211zB211zC112zD211z9、设ai，C：iz=1，则dziazzC2cos（）A0Be2iC2ieDicosi10、将单位圆1z共形映射成单位圆外部1w的分式线性变换是（）A)1(1azaazewiB)1(1azaazewiC)1(aazazewiD)1(aazazewi三、判断题（每小题2分）1、（）对任何复数z,22zz成立2、（）若a是zf和zg的一个奇点,则a也是zgzf的奇点3、（）方程01237zz的根全在圆环21z内4、（）z=是函数zf251zz的三阶极点5、（）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题6分）1、已知)(2222ydxycxibyaxyxzf在zS上解析,求a,b,c,d的值2、计算积分22)1(25zdzzzz3、将函数11zzzf在1z的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=0222)4)(1(dxxxx5、求211)(zzf在指定圆环iz2内的洛朗展式6、求将上半平面0Imz共形映射成单位圆1w的分式线性变换zLw，使符合条件0iL，0iL五、证明题（每小题7分）1、设（1）函数)(zf在区域D内解析（2）在某一点Dz0有0)(0)(zfn，（,2,1n）证明：)(zf在D内必为常数2、证明方程015nzze在单位圆1z内有n个根一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分）1ie654，221u，3(2k+1)i,(k=0,2,1)，4kiee242ln(k=0,2,1)53i,60,721,8可去，92e，10z1二单选题（每小题2分，共20分）1D2D3A4A5B6B7C8D9A10A三判断题（每小题2分，共10分）12345四计算题（每小题6分，共36分）1解：22byaxyxu,22ydxycxv3分yxvuydxayx22xyvudycxbyax22…5分解得:1,2cbda6分2解：被积函数在圆周的2z内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=12分2)1(25)(Re020zzzzzfs2225)(Re1211zzzzzzzfs分522)1(25zdzzzz=2i(-2+2)=06分3解：11zzzf=nnnzzz1211211111210…4分（1z2）…6分4解:被积函数为偶函数在上半z平面有两个一阶极点i,2i…1分I=dxxxx)4)(1(21222…2分=)(Re)(Re2212zsfzfsiiziz…3分=izizizzzzizzi22222)2)(1()4)((…5分=6…6分5解：))((1)(izizzf…1分=iziiz211)(12…3分=02)()2()1()(1nnnniziiziz2…6分6解:w=L(i)=kiziz2分2)(2izikw…3分0)(iLwik…4分iziziw…6分五证明题（每小题7分，共14分）1证明:设)(:0DkRzzk)(zf在0z解析由泰勒定理000)()(!)()(nnnzznzfzf)(Dkz…2分由题设0)(0)(zfn)()(0zfzf，)(Dkz…4分由唯一性定理)()(0zfzf)(Dz…7分2证明：令nzzf5)(，1)(zez2分(1）zf及z在1z解析(2）1z上，55nzzf1111eeeezzzz54分故在1z上zzf，由儒歇定理在1z内nzzfNzzzfN)1,()1,(…7分一、填空题（每小题2分）1、323sin3cos5sin5cosii的指数形式是2、ii=3、若0r1，则积分rzdzz1ln4、若v是u的共轭调和函数，那么v的共轭调和函数是5、设0z为函数)(zf=33sinzz的m阶零点，则m=6、设az为函数zf的n阶极点，那么zfzfsazRe=7、幂级数0!nnnz的收敛半径R=8、0z是函数zz1sin5的奇点9、方程01237zz的根全在圆环内10、将点,i,0分别变成0,i,的分式线性变换w二、单选题（每小题2分）1、若函数zf在区域D内解析，则函数zf在区域D内（）A在有限个点可导B存在任意阶导数C在无穷多个点可导D存在有限个点不可导2、使22zz成立的复数是（）A不存在B唯一的C纯虚数D实数3、22)1(coszdzzz（）A－isin1Bisin1C－2isin1D2isin14、根式3i的值之一是（）A223iB223iCiDi5、z是zzsin的（）A可去奇点B一阶极点C一阶零点D本质奇点6、函数411zzzzf，在以0z为中心的圆环内的洛朗展式有m个，则m=()A1B2C3D47、下列函数是解析函数的为（）Axyiyx222Bxyix2C)2()1(222xxyiyxD33iyx8、在下列函数中，0Re0zfsz的是（）A21zezfzBzzzzf1sinCzzzzfcossinDzezfz1119、设ai，C：iz=1，则dziazzC2cos（）A0Be2iC2ieDicosi10、将单位圆1z共形映射成单位圆外部1w的分式线性变换是（）A)1(1azaazewiB)1(1azaazewiC)1(aazazewiD)1(aazazewi三、判断题（每小题2分）1、（）幂级数0nnz在z1内一致收敛2、（）z=是函数2cos1zz的可去奇点3、（）在柯西积分公式中，如果Da，即a在D之外，其它条件不变，则积分dzazzfiC210，Dz4、（）函数zfzctge1在0z的去心邻域内可展成洛朗级数5、（）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题6分）1、计算积分Cdzixyx2，C：i1+i的直线段2、求函数211zzzzf在所有孤立奇点（包括）处的留数3、将函数izizzf11在iz的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域4、计算积分Czzdz122,C:1222yyx，5、计算实积分I=20cosad)1(a6、求将单位圆1z共形映射成单位圆1w的分式线性变换zLw使符合条件021L，11L五、证明题（每小题7分）1、设函数zf在区域D内解析，证明：函数zfi也在D内解析2、证明：在0z解析，且满足的nnf21121，nnf2121（2,1n）的函数zf不存在满分14得分一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分）119ie，2ke22(k=0,±…)，30，4u，596n，7，8本质，921z，10z1二单选题（每小题2分，共20分）1B2D3C4D5A6C7C8D9A10A三判断题（每小题2分，共10分）12345四计算题（每小题6分，共36分）1解：C的参数方程为：z=i+t,01tdz=dt3分Cdzixyx2＝1021dtitt=321i6分2解:1z为zf一阶极点1分1z为zf二阶极点2分411Re11zzzzzfs3分411Re121zzzzzfs5分0Rezfsz…6分3解：izizzf11=iiziiz211211…2分=10211nnnniiziz…5分（0iz2）…6分4解：在C内zf有一个二阶极点z＝0和一个一阶极点iz…1分011Re020zzzzfs…3分iizzzfsiziz21)(1Re2…5分所以原式＝2ii210…6分5解：令iezizdzzzaIz1121…1分=122)1()1(2zaazaazdzi…3分被积函数在1z内的有一个一阶极点12aaz121)(Re212azfsaaz…5分I=121212222aaii…6分6解：2212112121zzkzzkLw2分121212111kkL所以2k4分于是所求变换2122212zzzzw6分五证明题（每小题7分，共14分）1证明：设f(z)=u（x，y）+iv（x，y）)(zf=u（x，y）-iv（x，y）)(zfi=v（x，y）-iu（x，y）2分f（z）在D内解析，xyyxvuvu,)(zfi四个偏导数为vx，vy，-ux，-uy4分比较f（z）的C－R方程)(zfi也满足C-R方程且四个偏导数在D内连续)(zfi在D内解析7分2证明：假设在0z解析的函数zf存在且满足nnf21121，nnf2121（2,1n）2分点列n21=n21以0z为聚点在点列n21上,nnf2121由解析函数的唯一性定理在0z的邻域内zf=z5分但在这个邻域内又有nnf21121矛盾在0z解析的