小学奥数举一反三五年级数阵问题

数阵问题李老师2013年12月4日数阵问题一、知识介绍数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。二、分类探究1.辐射型数阵例1将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，则a被重复使用了2次。即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。由此，便推得a只能是1、4、7三数。当a＝1时，28＋2a＝3030÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。例3将1～11十一个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和相等。解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5的倍数，每条线上的数字和才能相等。1～11十一个数字和为66，66÷5＝13余1，必须再增加4，可使各线上数字和为14。共五条线，中心数重复使用4次，填1恰符合条件。此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数1，所得的和必须是5的倍数。据此，中心数填6、11均可得解。2.封闭型（复合型）数阵例1把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入○中，使三角形各边上的数字和都是12。解：要使三角形每边上的数字和都是12，则三条边的数字和便是12×3＝36，而2＋3＋4＋5＋6＋7＝27，36与27相差9。三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9，才能符合条件。确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！这题还可有许多解法，上图只是其中一种。例2下图是四个互相联系的三角形。把1～9九个数字，填入○中，使每个三角形中数字的和都是15。解：每个三角形数字和都是15，四个三角形的数字和便是：15×4＝60，而1～9九个数字和只有45。45比60少15。怎样才能使它增加15呢？靠数字重复使用才能解决。中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个数字都被重复使用两次。因此，只要使中间的一个三角形数字和为15，便可以符合条件。因此，它的三个顶角数字，可以分别为：1、9、52、8、52、7、64、6、5及2、9、43、8、43、7、58、6、1。把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了。前页下图是其中的一种。例3把2～10九个数字，分别填入下图○中，使每条直线上的三个数和为15。解：2～10九个数字的和为：2＋3＋4＋……＋10＝6×9＝54若排成每个三角形每边的数字和都是15，图中含有每边都三个数字的三角形有两个，共六条边，数字总和应是15×6＝90。54比90少36。在外围的六个数都被重复使用了两次，它们又分属于两个三角形。所以，每个三角形三个顶角的数和应为：36÷2＝18。这样，便可以先填外三角形三个顶角的数。三个数和为18的有很多组，可以通过试验筛选出适宜的一组。填好了外围三角形各个数后，里面的三角形，因为顶角的数已知，其他各数便容易填写了。下面是填法中的一种。例4将1～8八个数字，分别填入下图○中，使每个小三角形顶点上三数之和为12。解：图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若都是12，数字总和便是12×4＝48，可是1～8八个数字总和只有36。36比48少12。只有靠共用顶角上数的重复使用，才能解决。因此，必须把四个公用顶角的数字和填成12。把1～8八个数四个一组，和为12的有：6＋3＋2＋15＋4＋2＋1上述两组中，经验证，只有6＋3＋2＋1可以作公用顶点的数字。