2013年考研数二真题及详细解析

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）设cos1sin()xxx，其中()2x，则当0x时，()x是（）（A）比x高阶的无穷小（B）比x低阶的无穷小（C）与x同阶但不等价的无穷小（D）与x等价的无穷小（2）设函数()yfx由方程cos()ln1xyyx确定，则2lim()1nnfn（）（A）2（B）1（C）1（D）2（3）设函数sin,0()=2,2xxfxx，0()()xFxftdt，则（）（A）x是函数()Fx的跳跃间断点（B）x是函数()Fx的可去间断点（C）()Fx在x处连续但不可导（D）()Fx在x处可导（4）设函数111,1(1)()=1,lnxexfxxexx，若反常积分1()fxdx收敛，则（）（A）2（B）2（C）20（D）02（5）设()yzfxyx，其中函数f可微，则xzzyxy（）（A）2()yfxy（B）2()yfxy（C）2()fxyx（D）2()fxyx（6）设kD是圆域22(,)|1Dxyxy在第k象限的部分，记()(1,2,3,4)kkDIyxdxdyk，则（）（A）10I（B）20I（C）30I（D）40I（7）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若,BABC则可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价2（8）矩阵1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为（A）a0,b2（B）为任意常数ba,0（C）0,2ba（D）为任意常数ba,2二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)1ln(1)lim(2)xxxx．(10)设函数1()1xtfxedt，则()yfx的反函数1()xfy在0y处的导数0ydxdy．(11)设封闭曲线L的极坐标方程为cos3()66r，则L所围成的平面图形的面积为．(12)曲线2arctanln1xtyt上对应于1t的点处的法线方程为．(13)已知321xxyexe，22xxyexe，23xyxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00xy01xy的解为y．（14）设ijA(a)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，ijA为ija的代数余子式，若ijijaA0(i,j1,2,3),____A则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x时，1coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小，求n与a的值。（16）（本题满分10分）设D是由曲线13yx，直线(0)xaa及x轴所围成的平面图形，,xyVV分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若10yxVV，求a的值。（17）（本题满分10分）设平面内区域D由直线3,3xyyx及8xy围成.计算2Dxdxdy。（18）（本题满分10分）设奇函数()fx在[1,1]上具有二阶导数，且(1)1f.证明：（I）存在0,1（），使得()1f；（II）存在0,1（），使得()()1ff。（19）（本题满分11分）求曲线331(0,0)xxyyxy上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。（20）（本题满分11分）设函数1()lnfxxx，（I）求()fx的最小值（II）设数列{}nx满足1ln1nnxx，证明limnnx存在，并求此极限.（21）（本题满分11分）设曲线L的方程为211ln(1)42yxxxe，（1）求L的弧长；（2）设D是由曲线L，直线1,xxe及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标。（22）（本题满分11分）设101,101aABb，当,ab为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵C。（23）（本题满分11分）设二次型22123112233112233,,2fxxxaxaxaxbxbxbx，记112233,ababab。（I）证明二次型f对应的矩阵为2TT；（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型22122yy。42013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）设cos1sin()xxx，其中()2x，则当0x时，()x是（）（A）比x高阶的无穷小（B）比x低阶的无穷小（C）与x同阶但不等价的无穷小（D）与x等价的无穷小【答案】（C）【解析】因为200sin()cos11limlim2xxxxxx，所以0limsin()0xx，因此当0x时，()0x，所以sin()()xx，所以00sin()()1limlim2xxxxxx，所以()x是与x同阶但不等价的无穷小。（2）设函数()yfx由方程cos()ln1xyyx确定，则2lim()1nnfn（）（A）2（B）1（C）1（D）2【答案】（A）【解析】由于(0)1f，所以2()(0)2lim()1lim22(0)2nnffnnffnn，对此隐函数两边求导得()sin()10yyxyxyy，所以(0)1f，故2lim()12nnfn。（3）设函数sin,0()=2,2xxfxx，0()()xFxftdt，则（）（A）x是函数()Fx的跳跃间断点（B）x是函数()Fx的可去间断点（C）()Fx在x处连续但不可导（D）()Fx在x处可导【答案】（C）【解析】000sin1cos,0()()sin22(1),2xxxtdtxxFxftdttdtdtxx，由于lim()lim()2xxFxFx，所以()Fx在x处连续；()()1coslimlim0xxFxFxxx，()()2()limlim2xxFxFxxx，所以()Fx在x处不可导。（4）设函数111,1(1)()=1,lnxexfxxexx，若反常积分1()fxdx收敛，则（）（A）2（B）2（C）20（D）02【答案】（D）【解析】111,1(1)()=1,lnxexfxxexx因为11()()()eefxdxfxdxfxdx，当1xe时，11221111111111()limlim[](1)(1)2(1)2(1)eeefxdxdxdxxxe，要使2111lim[]2(1)存在，需满足20；当xe时，111ln111lim()lnlnlneedxdxxxx，要使11lim()ln存在，需满足0；所以02。（5）设()yzfxyx，其中函数f可微，则xzzyxy（）（A）2()yfxy（B）2()yfxy（C）2()fxyx（D）2()fxyx【答案】（A）【解析】已知()yzfxyx，所以22()()zyyfxyfxyxxx，所以11[()()](()())2()xzzfxyyfxyfxyyfxyyfxyyxyxx。（6）设kD是圆域22(,)|1Dxyxy在第k象限的部分，记()(1,2,3,4)kkDIyxdxdyk，则（）6（A）10I（B）20I（C）30I（D）40I【答案】（B）【解析】令cos,sinxryr，则有101()(sincos)(cossin)3kkDIyxdxdyrdrrrd故当2k时，,2，此时有220.3I故正确答案选B。（7）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC，且C可逆，则（）（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价【答案】（B）【解析】由ABC可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有1CBA，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。（8）矩阵1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为（A）0,2ab（B）为任意常数ba,0（C）0,2ba（D）为任意常数ba,2【答案】(B)【解析】由于1111aabaa为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为1111aabaa的特征值为0,,2b。又211[()(2)2]11aEAababaa，从而为任意常数ba,0。二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)1ln(1)lim(2)xxxx．【答案】12e【解析】原式=0ln(1)ln(11)limxxxxe，000ln(1)ln(1)1ln(11)11(1())12limlimlim2xxxxxxoxxxxxx因此答案为12e.(10)设函数1()1xtfxedt，则()yfx的反函数1()xfy在0y处的导数0ydxdy．【答案】111e【解析】0111111,,||111xyxxxdydxdxedxdydyeee(11)设封闭曲线L的极坐标方程为cos3()66r，则L所围成的平面图形的面积为．【答案】12【解析】所围图形的面积是2660611cos6cos32212Sdd(12)曲线2arctanln1xtyt上对应于1t的点处的法线方程为．8【答案】ln204yx【解析】22211111tdytttdxt，1|1,tdydx当1t时，,ln24xy，故法线方程为ln204yx.(13)已知321xxyexe，22xxyexe，23xyxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00xy01xy的解为y．【答案】32xxxyeexe【解析】由题意知：3,xxee是对应齐次方程的解，2xxe是非齐次方程的解，故非齐次的通解为321