第14章结构的弹性稳定计算

结构力学第14章结构的弹性稳定计算主要内容1基本概念2临界荷载的确定3等截面直杆的临界荷载4变等截面直杆的临界荷载5偏心受压直杆的稳定6剪力对临界荷载的影响7组合压杆的稳定8刚架的稳定计算§14.1引言在材料力学中，已经讨论了中心受压杆的稳定问题Fpl图1(1)当时，压杆处于稳定的平衡状态pcrpFF22lEIFpcr特点：当有微小横向干扰力时，压杆发生弯曲，当撤消该横向干扰力时，压杆又恢复直线平衡状态。(2)当时，压杆处于随遇或称中性的平衡状态pcrpFF特点：当有微小横向干扰力时，压杆发生弯曲，当撤消该横向干扰力时，压杆仍处于弯曲状态，并在此弯曲状态下保持新的曲线平衡状态。(3)当时，压杆处于不稳定平衡状态pcrpFF特点：当有微小横向干扰力时，压杆将发生很大的弯曲，直至破坏。这一现象称为压杆丧失第一类稳定性。除了压杆外，其它的一些结构也会存在第一类稳定问题，如q受均布外压的圆柱壳Fp刚架结构瘦高薄壁构件除了第一类稳定问题之外，还存在所谓的第二类稳定问题Fp图2(1)当时，压杆的挠度随着Fp的增大而增加（不一定是线性的）pcrpFF(2)当时，即使Fp不增大，压杆的挠度可持续增加。pcrpFF此时称压杆丧失了第二类稳定。由上可知，第二类稳定问题的特征为：平衡形式不发生改变，结构失稳是由于丧失了继续承载能力。不论是第一类稳定问题还是第二类稳定问题，在工程中都是不容许发生的。因为它们或是不能保持结构原有的工作状态，或是丧失了继续承载的能力，都将导致结构破坏。因此，在工程结构设计中仅考虑强度条件是不充分的，对于受压构件或结构还应进行稳定校核。在本章中，主要讨论在弹性范围内结构的第一类稳定问题，在结构力学中，稳定计算的中心问题是确定临界荷载。§14.2确定临界荷载的能量法确定受压构件的临界荷载的方法很多，最基本也是最重要的方法是静力法和能量法。静力法在材料力学中已讲过，在本节中介绍能量法。静力法在确定压杆临界荷载时常常会遇到一些困难，如当微分控制方程为变系数时，无法得到方程的解；边界条件较复杂时，导出的特征行列式是高阶的求解困难等。在这些情况下采用能量法具有较大的优势。势能驻值原理在弹性结构（线性或非线性的）的一切可能位移中，真实的位移使结构的总势能为驻值，即0TUEp（14-1）上式中，U为结构应变能，T为外力功（为荷载势能）。TEp*应当注意，所谓的“可能位移”是指满足结构变形协调条件的各种位移。真实位移则不仅满足结构变形协调条件，而且满足结构平衡条件。因此，（14-1）式实际上就是能量形式的平衡条件。即（14-1）式是弹性体系处于平衡的充要条件。但是在上节提到，平衡又分稳定平衡、中性平衡和不稳定平衡三种形式。下面通过一个单自由度体系，直观说明三种平衡形式的特点。如图3所示弹性支承上的刚性杆，顶端水平弹性支承的刚度系数为k，取初始位置为参考状态yFp图3l则体系的总势能为ppFUE∵221ykUlyll2211cos122∴221ylFklFUEppp讨论：（1）当时，若y≠0，则Ep恒大于零。此时称体系是正定的。此时总势能取得驻值必为极小值。体系处于稳定的平衡状态，这就是最小势能原理，即对于稳定的平衡状态，真实的位移使体系的总势能Ep为极小值。总势能与y的关系如图(a)所示pFklyEp(a)221ylFklFUEppp（2）当时，若y≠0，则Ep恒小于零。此时称体系是负定的。此时总势能取得驻值必为极大值。总势能与y的关系如图(b)所示，体系处于不稳定的平衡状态。在y=0处有横向干扰力作用，就会迅速倾覆。pFklyEp(b)（3）当时，总势能Ep恒为零。总势能与y的关系如图(c)所示，体系处于中性的平衡状态。称处于这一临界状态的荷载为临界荷载，记。此时，在y=0处有微小的横向干扰力作用，会体系在新的倾斜位置上维持新的平衡。pFklklFpcryEp(c)以上讨论最简单的单自由度体系情况，对于多自由度体系或弹性体情况要复杂些，但下面的结论是共性的当体系处于稳定的平衡状态时，其总势能必为极小值。当体系处于中性的平衡状态时，其总势能增量必为零。利用上述结论，可以确定体系的临界荷载0ppFUE由得UFpcr（14-2）如果已知临界状态体系的变形或位移，代入上式即可确定体系的临界荷载。若是近似的变形或位移，则所求得的临界荷载为近似值。假如体系的自由度大于1，则满足(14-2）式的Fp值不止一个，其中最小者就是所求的临界荷载，即UFpcrmin（14-3）上式就是能量法确定临界荷载的基本依据。下面椐此推导受压直杆稳定（属于无限自由度体系）问题的临界荷载具体形式。如图5所示弹性直杆Fp图5yx当达到临界状态时，则对于任一可能位移有0ppFUE上式中为压杆弯曲后，所增加的应变能（压缩变形能在初始状态也存在）。由于处于中性平衡状态，给杆一个微小的弯曲变形，则dxEIxMU221∵yEIxM∴dxyEIU221dsdsdx又∵dxydxdxydxdsd22211∴dxydxyEIUFpcr22minmin(14-4)例1如图示压杆，用能量法求其临界荷载。Fpl解在材料力学中，已求得临界荷载的精确解为222lEIFpcryx设：弹性失稳曲线为lxay2cos1该曲线满足全部的位移和力的边界条件。∵;2sin2lxlaylxlay2cos22222cos242024202llaEIdxlxlaEIdxyEIll222sin222022202lladxlxladxyll∴222224222467.222222lEIlEIllallaEIdxydxyEIFpcr上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线，故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为悬臂梁的挠曲线，即xlaxy3223232225.2524336lEIlalaEIdxydxyEIFpcr可以求得这个近似解比精确解大约1.3%例2如图示两端铰支压杆，用能量法求其临界荷载。Fpl解在材料力学中，已求得临界荷载的精确解为22lEIFpcryx设：弹性失稳曲线为lxaysin该曲线满足全部的位移和力的边界条件。∵;coslxlaylxlaysin22sin42024202llaEIdxlxlaEIdxyEIll2cos22022202lladxlxladxyll2222242228696.922lEIlEIllallaEIdxydxyEIFpcr∴上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线，故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为简支梁的挠曲线，即3232llxxaxy可以求得27252228824.9351730144lEIlalaEIdxydxyEIFpcr这个近似解比精确解大约0.1%前面讨论了最简单情况（等截面两端刚性支承）压杆临界荷载确定方法。对于一般情况，一个函数并不能很好地反映失稳曲线，此时，可采用级数解答。设：弹性失稳曲线为1iiixay（14-5）上式中，i(x)为满足给定位移边界条件的已知函数，ai为待定系数。在实际计算时，一般只能求出临界荷载的近似值，弹性失稳曲线也很难找出精确表达式，因此，（14-5）式只能取有限项。设取前n项niiixay1将其代入临界荷载公式得npniiiniiipcraaaFdxxadxxaEIdxydxyEIF2121'2122minminmin这样就把求临界荷载问题转变为求Fp的极值问题。Fp的极值条件为niaFip2,10令：;21dxxaEIAniiidxxaBniii21'则niBaBABaAaFiiip2,102由于B≠0，A/B=Fp，则上式可改写为niaBFaAipi2,10因为njjijinjjjidxxxEIadxxxaEIaA1122njjijinjjjidxxxadxxxaaB1'''1'22则Fp的极值条件可改写为niaCnjjij2,101（14-6）其中dxxxFxxEICjipjiij''（14-6）式是关于ai(i=1,2…n)的n阶齐次线性方程组，有非零解的条件为0212222111211nnnnnnCCCCCCCCCD（14-7）将上式展开，即得一个关于Fp的n次代数方程，它有n个正实根，最小的一个即为所求的临界荷载Fpcr§14.3等截面直杆的临界荷载一刚性支承上等截面直杆的临界荷载常见的等截面直杆在刚性支承上的临界荷载在材料力学中已求出，归纳如下22lEIFpcr为长度系数Fp=1lFp=2Fp=0.7Fp=0.5Fp=1二弹性支承上等截面直杆的临界荷载工程中经常会遇到弹性支承上的压杆，对于该类压杆稳定问题的求解方法与刚性支承上的压杆一样，只是要复杂些。如图示压杆，采用静力法求其临界荷载。FplkyxyFxMp由xMyEI得22nyny(a)其中EIFnp2(a)式的解为nxBnxAysincos上式中A、B、为待定常数，由边界条件确定00xy由得0A(b)由lxy得nlBnlAsincos(c)由得kFypx0knEIkFBnp2(d)由(b)、(c)、(d)组成的关于未知量A、B、的齐次线性方程组，有非零解的条件为0100sincos101knEInlnl将上式展开整理得EIknlntan或EIklnlnltan这就是所求的稳定方程，解此超越方程即可获得临界荷载。对于一些工程中的简单结构的稳定问题可简化为此模型。如FpkFp1kkFp1kFpEA=三竖直杆在自重作用下的稳定如图所示结构，在自重作用的稳定性分析已有级数形式（-1/3阶贝塞尔函数）的精确解。qlxya2837.7lEIqlcr下面采用能量法求其近似解。设：lxay2cos1则;2sin2lxlaylxlay2cos222222cos222142024202llaEIdxlxlaEIdxyEIUll下面计算外力功，取出微段dx，则该微段因弯曲引起的轴向下降距离为dsdsdxdxyd221于是该微段上部重量所做的功为dxyxlq221)(则全部自重所做的功为222210222102141222sin)(2221)(llaqdxlxxlqlaqdxyxlqTll