一线三等角

编辑：王老师[e-mail]一线三等角问题一、问题引入如图，ABC中，90B，CDAC，过D作DEAB交BC延长线与E。求证：ABCCEDBEADC其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角）（等腰梯形中底边上一线三等角）ABDCEF（直角坐标系中一线三等角）（矩形中一线三等角）编辑：王老师[e-mail]（1）等腰三角形中一线三等角例1、如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作DEFB，射线EF交线段AC于F．（1）求证：△DBE∽△ECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．（1、本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；（2、第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少是，三角线相似。变式练习1就是这类题型；（3、第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF与底边平行，一种是E为中点；（4、在等腰三角形，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。变式练习1（浦东新区22题）如图，已知等边△ABC的边长为8，点D、F、E分别在边AB、BC、AC上，3BD，E为AC中点，当△BPD与△PCE相似时，求BP的值.FBACDEBACD(备用图)编辑：王老师[e-mail]变式练习2（宝山22题）如图6，已知ΔABC中，ABAC,点E、F在边BC上，满足∠EAF=∠C.求证：2BFCEAB；FECBA（图6）（2）等腰梯形中一线三等角例2.（长宁区18题）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，2AD，42BC，∠45B˚，直角三角板含45度角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F.若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于.例3（徐汇区25）．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，6ABCDBC，3AD．点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EFCD，求BE的长．第18题EFDCBA编辑：王老师[e-mail]例4、（杨浦区基础考）四边形ABCD中，AD∥BC，090ABC，3ABDC，5BC．点P为射线BC上动点（不与点B、C重合），点E在直线DC上，且APE．记1PAB，2EPC，BPx，CEy．（1）当点P在线段BC上时，写出并证明1与2的数量关系；（2）随着点P的运动，（1）中得到的关于1与2的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x的取值范围；（3）若cos=13，试用x的代数式表示y．编辑：王老师[e-mail]（3）坐标系中一线三等角例5．（金山区24）如图，住平面直角系中，直线AB：440yxaa分别交x轴、y轴于B、A两点，直线AE分别交x轴、y轴于E、A两点，D是x轴上的一点，OAOD，过D作CDx轴交AE于C，连接BC，当动点B在线段OD上运动（不与点O点D重合）且ABBC时(1)求证：ABO∽BCD；(2)求线段CD的长（用a的代数式表示）；(3)若直线AE的方程是1316yxb，求tanBAC的值．变式练习3、在平面直角坐标系XOY中，AOB的位置如图所示，已知0060,90AAOB,点A的坐标为1,3（1）求点B的坐标；（2）若抛物线cbxaxy2经过A、O、B三点，求函数解析式。（4）矩形中一线三等角编辑：王老师[e-mail]例6、（长宁区24题）．如图，在矩形ABCD中，4AB，6AD，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E．（1）判断△EAP与△PDC一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PDx，AEy，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P，是△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，请求出PD的长度；若不存在，请简要说明理由．EPDCBA