七年级数学平行线的有关证明及答案

平行线的性质与判定的证明练习题温故而知新：1.平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补.2.平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行互补.例1已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．解析：在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.例2如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.例3（1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．解析：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.例4如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？解析：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.举一反三：1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（）A.60°B.72°C.90°D.100°2.已知如图所示，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.3.已知：如图2-10，AB∥EF，BC∥ED，AB，DE交于点G．求证：∠B=∠E．例4如图2-6，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由．解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因.5.如图1-7，已知直线1l2l，且3l和1l、2l分别交于A、两点，点P在AB上，4l和1l、2l分别交于C、D两点，连接PC、PD。（1）试求出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由。（2）如果点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化。（3）如果点P在AB两点的外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B不重合）6.如图2-11，CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD，EF平分∠DEB吗？请说明理由．7.如图1-12，CD∥EF,∠1+∠2=∠ABC,求证：AB∥GF8.如图2-13，已知AB∥CD，∠ECD=125°，∠BEC=20°，求∠ABE的度数．答案：1.根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）答案：（标注∠MND=∠AMN=60°，∠DNP=∠EPN=80°）解：（1）∵AB∥CD∥EF，∴∠MND=∠AMN=60°，∠DNP=∠EPN=80°，∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，又NQ平分∠MNP，∴∠MNQ=∠MNP=×140°=70°，∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.(下一步)（2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，∴∠MNQ=∠MNP=（∠AMN+∠EPN），∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=（∠AMN+∠EPN）-∠AMN=（∠EPN-∠AMN），即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.2.（标注：∠1＝∠2=∠DCB，DG∥BC，CD∥EF）答案：（标注：∠1＝∠2=∠DCB）证明：因为∠AGD=∠ACB，所以DG∥BC，所以∠1＝∠DCB，又因为CD⊥AB,EF⊥AB，所以CD∥EF，所以∠2＝∠DCB，所以∠1=∠2.3.（1）动画过点C作CF∥AB由平行线性质找到角的关系.(标注∠1=∠ABC，∠2=∠CDE)答案：证明：如图，过点C作CF∥AB，∵直线AB∥ED，∴AB∥CF∥DE，∴∠1=∠ABC，∠2=∠CDE.∵∠BCD=∠1+∠2，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）解析：动画过点C作CF∥AB,由平行线性质找到角的关系.（标注∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°）答案：∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．证明：如图，过点C作CF∥AB，∵直线AB∥ED，∴AB∥CF∥DE，∴∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°.∵∠BCD=∠1+∠2，∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．4.动画过点B作BD∥AE，答案：解：过点B作BD∥AE，∵AE∥CF，∴AE∥BD∥CF，∴∠A=∠1，∠2＋∠C=180°∵∠A=120°，∠1+∠2=∠ABC=150°，∴∠2=30°，∴∠C=180°-30°=150°．例题1.解析：∠AEG=180°-120°=60°,由外凸角和等于内凹角和有60°+30°+30°＝x+48°，解得x=72°.答案:B.2.解:∵AB∥EF∥CD,∴∠B=∠BEF,∠DEF=∠D.∵∠B+∠BED+∠D=192°,即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°,∴2(∠B+∠D)=192°,即∠B+∠D=96°.∵∠B-∠D=24°,∴∠B=60°,即∠BEF=60°.∵EG平分∠BEF,∴∠GEF=∠BEF=30°.3.解析：标注AB∥EF，BC∥ED答案：证明：∵AB∥EF，∴∠E=∠AGD.∵BC∥ED，∴∠B=∠AGD，∴∠B=∠E.4.解析：标注AB∥CD，∠1=∠2答案：方法一：（标注CF∥BE）解：需添加的条件为CF∥BE，理由：∵AB∥CD，∴∠DCB=∠ABC.∵CF∥BE，∴∠FCB=∠EBC，∴∠1=∠2；方法二：（标注CF，BE，∠1=∠2=∠DCF=∠ABE）解：添加的条件为CF，BE分别为∠BCD，∠CBA的平分线．理由：∵AB∥CD，∴∠DCB=∠ABC.∵CF，BE分别为∠BCD，∠CBA的平分线，∴∠1=∠2．5.解：（1）解析：在题目中直接画出辅助线∠3=∠1+∠2。理由：如图（1）所示过点P作PE∥1l交4l于E，则∠1=∠CPE，又因为1l∥2l，所以PE∥2l，则∠EPD=∠2，所以∠CPD=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2（2）解析:点P在A、B两点之间运动时，∠3=∠1+∠2的关系不会发生改变。（3）解析：如图（2）和（3）所以，当P点在A、B两点外侧运动时，分两种情况：6.解析：标注CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD答案：标注∠CDE=∠ACD=∠DCE=∠DEF=∠BEF解：EF平分∠DEB．理由如下：∵DE∥AC，EF∥CD，∴∠CDE=∠ACD，∠CDE=∠DEF，∠BEF=∠DCE.∵CD平分∠ACB，∴∠DCE=∠ACD，∴∠DEF=∠BEF，即EF平分∠DEB．7.解析：如图，作CK∥FG,延长GF、CD交于H，则∠H+∠2+∠KCB=180°.因为CD∥EF，所以∠H=∠1,又因为∠1+∠2＝∠ABC，所以∠ABC+∠KCB=180°，所以CK∥AB,所以AB∥FG.8.解析：（过E点作EF∥CD）标注AB∥EF∥CD答案：解：过E点作EF∥CD，∴∠ECD+∠CEF=180°，而∠ECD=125°，∴∠CEF=180°-125°=55°，∴∠BEF=∠BEC+∠CEF=20°+55°=75°.∵AB∥CD，∴AB∥EF，∴∠ABE=∠BEF=75°．