2019年4月海淀区一模数学试题及答案文科

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）2019.4第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项。(1)已知集合02Pxx，且MP，则M可以是(A)0,1(B)13，(C)1,1(D)0,5(2)若0x是函数21()logfxxx的零点，则(A)010x(B)001x(C)012x(D)024x(3若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A)sin(+)2(B)s(+)2co(C)sin()(D)s()co(4)已知ab，则下列结论中正确的是(A)0,cabc(B)0,cabc(C)0,cabc(D)0,cabc(5)抛物线2:4Wyx的焦点为F，点A在抛物线形上，且点A到直线3x的距离是线段AF长度的2倍，则线段AF的长度为(A)1(B)2(C)3(D)4(6)某四棱锥的三视图如图所示，其中+=1ab，且ab.若四个侧面的面积中最小的为19则以的值为(A)12(B)23(C)34(D)56(7)设na是公比为q的等比数列，且11a，则“1na对任意*nN”成立”是“1q”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是地理、生物、政治这三科，且生物在B层班级．该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法的种数为第一节第二节第三节第四节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班(A)4(B)5(C)6(D)7第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)已知i是虚数单位，若(1)()2iai，aR，则a(10)在△ABC中，14,5,cos8abC，则=c，ABCS(11)执行如图所示的程序框图，则输出的T值为(12)已知向量ar=（1，-2），同时满足条件①ar∥br，②abarrr的一个向量br的坐标为(13)已知椭圆221:14xCy和双曲线2222:1(0)xCymm．经过1C的左顶点A和上顶点B的直线与2C的渐近线在第一象限的交点为P，且ABBP，则椭圆1C的离心率1e，双曲线2C的离心率2e(14)设关于,xy的不等式组00,1xyykx，表示的平面区域为．记区域上的点与点(0,1)A距离的最小值为()dk，则(I)当=1k时，(1)=d；(Ⅱ)若()2dk，则k的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(15)（本小题满分13分）已知等差数列na的公差2d，且252aa，na的前n项和为nS．（I）求na的通项公式；(Ⅱ)若915,,mSaa成等比数列，求m的值．(16)（本题满分13分）已知函数()22cos()cos4fxxxa的图象经过点(O,l)，部分图象如图所示．(I)求a的值；(Ⅱ)求图中0x的值，并直接写出函数()fx的单调递增区间．(17)（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC中，1CC平面111ABCABC,1,2ACBCACBCCC，点,,DEF分别为棱11111,,ACBCBB的中点．(Ⅱ)求证：AB∥平面DEF(Ⅱ)求证：平面1ACB平面DEF;(Ⅲ)求三棱锥1EACB的体积.(18)（本小题满分13分）据《人民网》报道，“美国国家航空航天局(NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷按造林方式分地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南149002976471342922111715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012、400039991053(Ⅱ)请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；(Ⅱ)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？(Ⅲ)从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．(19)（本小题满分13分）已知函数3215()132fxxxax．(I)当6a时，求函数()fx在(0+)，上的单调区间；(Ⅱ)求证：当0a时，函数()fx既有极大值又有极小值．(20)（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为(2,0)A，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点(1,0)P且与x轴不重合的直线l与椭圆交于,MN不同的两点．(I)求椭圆P的方程；(Ⅱ)当AM与MN垂直时，求AM的长；(Ⅲ)若过点P且平行于AM的直线交直线52x于点Q，求证：直线NQ恒过定点．海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科）2019.04阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.C3.D4.D5.B6.B7.C8.B二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.110.1576,411.4812.(1,2)（答案不唯一）13.3,2214.2,[0,)三、解答题:本大题共6小题，共80分.15.（共13分）解：（I）因为522aa，2d所以11252102ada，所以14a所以26nan(II)21()52mmaamSmm又912a，1524a因为915,,mSaa是等比数列，所以2915()maSa所以2560mm6,1mm因为*mN，所以6m16.（共13分）解：（Ⅰ）π(0)22sin()cos014fa22212a所以1a（Ⅱ）()22cos()cos14fxxx(2sin2cos)cos1xxx22sincos2cos1xxxsin2cos2xxπ2sin(2)4x由图象得0ππ242x所以0π8x函数()fx的单调增区间为31(ππ,ππ)88kk，kZ17.（共14分）解：（I）证明：因为三棱柱111ABCABC中，11ABAB又因为,DE分别为1111,ACBC的中点，所以DE11AB于是DEABAB平面DEF，DE平面DEF所以AB平面DEF(II)在三棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC，AC平面ABC，BC平面ABC所以1CCAC，1CCBC又ACBC1BCCCC，1,BCCC平面11CBCB所以AC平面11CBCBEF平面11CBCB所以ACEF又因为12BCCC，1CCBC，所以侧面11CBCB为正方形，故11BCCB而,EF分别为111,BCBB的中点，连结1BC，所以EF‖1BC所以1EFCB，又1ACCBC，1,ACCB平面1ACB所以EF平面1ACB又EF平面DEF所以平面1ACB平面DEF（Ⅲ）1111233EACBAECBECBVVSAC18.（共13分）解：(Ⅰ)人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省(Ⅱ)设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件A在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%，则3()10PA（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为1234,,,aaaa，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即12,aa从4个地区中任取2个地区共有6种情况，121314232434,,,,,,,,,,,aaaaaaaaaaaa其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，1213142324,,,,,,,,,aaaaaaaaaa则5()6PB19．（共13分）解：（Ⅰ）当6,0ax时，3215()6132fxxxx所以2'()56(2)(3)fxxxxx，令'()0,fx得2x，或3x.当x变化时，'(),()fxfx的变化情况如下表：x(0,2)2(2,3)3(3,)'()fx00()fx极大值极小值所以()fx在(0,+)上的单调递增区间是(0,2)，(3,)，单调递减区间是(2,3)(Ⅱ)当0a时，若0x，则3215()132fxxxax，所以2'()5(5)fxxxaxxa因为0,0xa，所以'()0fx若0x，则3215()132fxxxax，所以2'()5fxxxa令'()0,fx2540a，所以有两个不相等的实根12,xx，且120xx不妨设20x，所以当x变化时，'(),()fxfx的变化情况如下表：x(,0)02(0,)x2x2(,)x'()fx无定义0()fx极大值极小值因为函数()fx图象是连续不断的，所以当0a时，()fx即存在极大值又有极小值20.（共13分）解：（Ⅰ）因为(2,0)A，所以2a因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以bc又222bca所以2bc，所以椭圆方程为22142xy（Ⅱ）方法一：设(,)mmMxy1mMPmykx，=2mAMmykx1AMMPkk22112142mmmmmmyyxxxy02mmxy，20mmxy（舍）所以=6AM方法二：设(,)mmMxy，因为AM与MN垂直，所以点M在以AP为直径的圆上，又以AP为直径的圆的圆心为1(,0)2，半径为32，方程为2219()24xy222219()24142mmmmxyxy，02mmxy，20mmxy（舍）所以=6AM方法三：设直线AM的斜率为k，:(2)AMlykx，其中0k22(2)142ykxxy化简得2222(12)8840kxkxk当0时，228412AMkxxk得222412Mkxk，2421Mkyk显然直线,AMMN存在斜率且斜率不为0.因为AM与MN垂直，所以222421=24112MPkkkkk1k得212k，22k，0Mx所以2=126MAMkx（Ⅲ）直线NQ恒过定点(2,0)设11(,)Mxy，22(,)Nxy，由题意，设直线MN的方程为1x