第二章激发极化场的计算和模拟方法

第二章激发极化场的计算和模拟方法前面我们讨论了均匀岩、矿石（标本或露头）的真激电参数及其性质。实际大地一般是非均匀性的，在此情况下若仍按均匀岩、矿石测量真激电参数的方法进行观测和计算，则所得的为视激电参数，如视极化率hs 和 0 sh、视复电阻率 sr ~ 、视频散率 Ps 和视相位js 等。激电法正是用一定的电极装置观测这些视激电参数，以推断地下地质情况。为了合理布置激电法工作和正确推断解释激电异常，必须了解各种电极装置在不同地电条件下的视激电参数分布规律，这就要求进行正演计算。公式（3.1.10）、（3.1.13）、（3.1.18）及（3.1.25）表明，要计算任何一种视激电参数，都需要先计算包括一次场和激电二次场在内的极化总场。激发极化的形成和衰减是一个比较缓慢的过程，在时间域中，充、放电过程大体发生在 s n n 2 2 10 ~ 10××-的时间区段中；在频率域中激电效应基本上只发生在超低频段上（ Hz n n 2 2 10 ~ 10××-）。对于这样缓慢变化的电场，通常可以忽略电磁感应和电磁辐射效应。所以在计算激发极化总场时可以近似采用对稳定电流场的处理方法，即用标量电位 U 来描述极化总场，它可通过求解拉普拉斯方程 0=Ñ2 U （3.2.1）的边值问题来获得。3.2.1面极化电场的计算和模拟方法一、面极化电场的边界条件在面极化条件下，极化体（设其电阻率为r2）和围岩（电阻率为r1）的界面上存在过电位ΦD，所在在界面极化体一侧的总场电位 ) 2 ( U 和围岩一侧的总场电位 ) 1 ( U 不连续，两者之差等于ΦD。因此，根据（3.2.1）式可写出界面上的电位连续性条件 n U k kj U U n¶¶=-=-1 ) 1 ( ) 2 ( ) 1 (r（3.2.2）式中 n U¶¶是电位沿界面外法线的方向导数。另一个边界条件，即电流连续性条件，和稳定电流场一样，可写为() n U n U¶¶=¶¶21 2 ) 1 ( 1 1rr（3.2.3）这样，只要给出待解正演问题的具体地电条件，便可通过求解微分方程边值问题（3.2.1） ~（3.2.3）确定总场电位。应该指出，在面极化体和围岩分别是均匀的情况下，面极化系数k 是与空间坐标无关的常数，但它随充、放电时间而变（时间域中），或是频率的复变函数（频率域）。所以，求解方程（3.2.1）~（3.2.3）所得的极化总场电位U 也是随时间或频率而变的。在零频率或长时间充电的极限情况下，在（3.1.30）式中取w®∞，得 k®k0，故解出的总场电位U 趋于稳定饱和值 0 | ) ( | ) (®¥® f T f U T U 或，这是极化达饱和的情况。在高频或极短时间充电的另一极限情况下，在（3.1.30）式中取w®0，得 k®0。这时边界条件退化为无激电效应的一次场的相应条件，解得的总场电位与一次场电位相同，即 1 0 | ) ( | ) ( U f U T U f T==¥®®。二、面极化电场的计算下面我们用球体电场的算例来说明面极化电场的解题过程。设在均匀、充满全空间的电阻率为r1 的不极化围岩中，赋存一个电阻率为r2、半径为 r0 的电子导电球体。在水平均匀外电场 0 0 j E1=r的激发下，球体产生面极化，其面极化系数为 k。将球坐标系的原点置于球心，极轴自球心指向外电场的反方向（见图 3.2.1）。由于对称性，总场电位 U 仅仅是坐标q和 R 的函数，而与方位角j无关。在此情况下，球坐标系中的拉普拉斯方程为 0 sin sin 1 2=÷øöçè涶¶¶+÷øöçè涶¶¶qqqq U R U R R （3.2.4）设球外和球内的总场电位分别为 ) 2 ( ) 1 ( U U 和，并将其分解为正常场和异常场电位两部分 ) 2 ( 0 ) 2 ( ) 1 ( 0 ) 1 ( a a U U U U U U+=+=式中 U0 表示正常场电位。有ïïþïïýü+-=+-=åå¥=1+-¥=1 ) (cos cos ) (cos cos 0 0 ) 2 ( ) 1 ( 0 0 ) 1 (qqrqqr n n n n n n n n P R A R j U P R B R j U （3.2.5）将上式代入边界条件式（3.2.2）和（3.2.3），并考虑到在球面上 R U n U r R¶¶=¶¶=和 0 ，则得ïïïïïïþïïïïïïýü+-=+--úúûùêêëé+--=--¥=221+-¥=1+-¥=11+-¥=åååå ) (cos 1 cos ) (cos ) 1 ( 1 cos ) (cos ) 1 ( cos ) (cos ] [ ) 1 ( 0 0 ) 2 ( 0 0 0 ) 2 ( 0 0 0 0 ) 1 ( 0 0qrqrrqrqqqrrq n n n n o n n n n n n n n n n n n n n P r nA j P r B n j P r B n j k P r A r B （3.2.6）图3.2.1 均匀外电流场中的面极化球体分别令方程（3.2.6）两端LL , 2 , 1 , 0= n 的勒让德多项式 ) (cosq n P 的系数相等，并考虑到qq cos ) (cos 1= P ，可解得 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 1=====ïïïïïþïïïïïýü÷÷÷÷÷øöçççççèæ+++--=÷÷÷÷÷øöçççççèæ++---=1121211212L B A B A r j r k r k A j r k r k Arrrrrrrrrr（3.2.7）将（3.2.7）式代入（3.2.5）式，便得球外和球内的总场电位表达式ïïïïïþïïïïïýü÷÷÷÷÷øöçççççèæ++--+-=÷÷÷÷÷øöçççççèæ×+++-+-=1121211212qrrrrrqrrrrr cos 2 2 2 1 cos 2 2 1 0 0 0 ) 2 ( 0 3 3 0 0 0 ) 1 ( R j r k r k U R j R r r k r k U （3.2.8）如果球体是不极化的，将 k=0 代入上式则得球外和球内的一次场电位表达式ïïþïïýü÷÷øöççèæ+-+-=÷÷øöççèæ×+-+-=1121211212qrrrrrqrrrrr cos 2 1 cos 2 1 0 ) 2 ( 0 3 3 0 ) 1 ( 1 R j U R j R r U （3.2.9）上式即从总场电位中减去一次场电位，可得到二次场电位的表达式ïïïïïþïïïïïýü÷÷øöççèæ+++-=-=÷÷øöççèæ+++-=-=12122121221qrrrrrrqrrrrr cos 2 2 ) 2 ( 6 cos 2 2 ) 2 ( 3 0 0 0 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( ) 2 ( 2 2 0 2 0 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 R r k r k j U U U R r k kr j U U U （3.2.10）还可以进一步将球外二次场电位改写成 2 ) 1 ( 2 cos 4 R P U sqpr1=（3.2.11）式中÷÷øöççèæ++÷÷øöççèæ+-=÷÷øöççèæ+++-=121212121 0 2 0 0 0 2 0 0 2 1 2 1 2 12 2 2 ) 2 ( 12 r r j r k kr j P slrrrrlprrrrpr（3.2.12）上两式说明，激电二次场在球外的分布与一个位于球心的电流偶极子的电场相同。其强弱由等效电流偶极子的电流偶极矩 Ps 表示。从（3.2.12）式可看出：① Ps 与 j0 成正比，即二次场随外电流密度增大而增强。②Ps 近似与 2 0 r 成正比①，即面极化球体的表面积越大，二次场就越强。这充分显示了面极化的特点。③ Ps 近似与1=rl k 成正比①，即面极化系数值越大（面极化效应越强），二次场就越强；并且，二次场近似有与λ或 k 相同的时间特性和频率特性。④ Ps 随12rr减小而单调增大，即面极化体相对围岩的导电性越好，二次场越强；在良导电面极化体上（ ) 0 /®12rr，二次场最强；而在高阻面极化体上(¥®2 1 /rr )，二次场趋于零。这是面极化的又一特点。三、面极化电场的模拟准则除用解析法外，也可用数值模拟（求方程（3.2.1）~（3.2.3）的数值解）或物理模拟（小比例尺模型实验）来解面极化电场的正演问题。与电阻率法正演问题的数值解法相比，面极化电场数值模拟的难度和计算量都较大，首先，是因为引入了电位不连续的边界条件（3.2.2），其次，如果求解频率域的正演问题，k 为频率的复变函数，因而k 和U 都必须用复数。面极化电场模拟的另一个问题是，虽然拉普拉斯方程是线性的，与模型比例尺无关，但边界条件（3.2.2）却随比例尺而变。当模型和实际地电断面的比例尺为 1/m时，（3.2.2）式右端的一阶导数 n U¶¶ ) 1 ( 将增大 m 倍。为保持该边界条件（右端项）不变，必须使面极化系数 k 或1=rl k 相应减小 m倍。这就是面极化电场比例模拟的相似准则。前一节曾提到，面极化系数λ的变化范围很小，且难以控制，进行面极化模型实验时，难以实现上述模拟准则。这就是通常在小比例尺模型上的面极化模型实验结果，异常明显大于野外实际情况的原因。这样的实验结果在最好的情况下也只能定性地反映实际异常的形态。3.2.2体极化电场的计算和模拟方法一、等效电阻率在讨论体极化电场的计算和模拟方法之前，我们先介绍体极化岩、矿石的等效电阻率概念。在图 3.1.6所示体极化效应的测量装置和测量结果中可以看到，由于存在激发极化效应，在流过标本的电流保持不变的条件下，标本两端的极化总场电位差随充电时间而增大。根据欧姆定律，我们可将上述现象理解为，体极化效应等效于体极化介质电阻率的增大。为与介①前已述及，面极化系数λ的变化不大，一般λ≥1m。所以，对于野外有一定规模的面极化矿体（r010m），（5.2—12）式分母中的 1 . 0 0 rl，可以忽略。质在无激电效应时的真电阻率相区别，我们将发生体极化效应时，极化体对极化总场的电阻率称为“等效电阻率”。上节对均匀岩、矿石按（3.1.18）式算出的复电阻率r ~ 或)(wr i 和按（3.1.24）式计算的充电过程的电阻率 ) (Tr，分别代表频率域和时间域中的等效电阻率。一般说来，等效电阻率随频率或充电时间而变。在 T→0 或 f→∞的极限情况下，总场电位 0 ()| T UT®或 ()| f Uf®¥D趋于无激电效应的一次场电位 U1 ，等效电阻率 ` 0 | ) (® T Tr或¥®wwr | ) (i 就等于介质真电阻率ρ。在 T→∞或 f→0的另一极限情况下，总场电位趋于饱和值 0 | ) ( | ) (®¥® f T f U T U 或，此时的等效电阻率 0 | ) ( | ) (®¥®wwrr i T T 或为“极限等效电阻率”，记为ρ*。根据极限极化率η的计算式（3.1.14）和等效电阻率的计算式（3.1.24），可写出*-*=rrrh（3.2.13）上式稍加变换，便可写出极限等效电阻率ρ*和真电阻率ρ的关系式hrr-=* 1 （3.2.14）或考虑到关系式（5.1—14），改写成 ) 0hrr+(1=*（3.2.15）二、体极化电场的边界条件体极化条件下，微小的极化单元成体分布于极化体内，故在极化体与围岩的界面上没有电位跃变，即极化总场电位是连续的。由此可写出极化总场电位的连续性边界条件 0 ) 2 ( ) 1 (=-U U （3.2.16）前已述及，我们对极化总场按稳定电流场处理，故在界面上总场电流密度的法向分量也应连续。可见关于电流连续性的边界条件应与面极化总场的相应边界条件（5.2—3）相似，只是极化体和围岩的电阻率应采用相应的等效电阻率*1rr和 * 2 代替，即 n U n U¶¶=¶¶*2 ) 2 ( ) 1 ( * 1 1 1r