初三中考冲刺——有关圆的证明题

1初三中考冲刺——有关圆的证明题1.如图，半径为25的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．（1）求证：PA·PB=PC·PD；（2）设BC中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；（3）若AB=8，CD=6，求OP的长．2.如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，1C．（１）求证：CB∥PD；（２）若3BC，3sin5P，求O的直径．3.已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过DBC、、三点，290DOCACD．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）如果75ACB，⊙O的半径为2，求BD的长．图BDACEFOP（第19题）ECODBA1P2GDOCABEF4.已知：如图，在△ABC中，∠A=45°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且AD=DC，CO的延长线交⊙O于点E，过点E作弦EF⊥AB，垂足为点G.（1）求证：BC是⊙O的切线.（2）若AB=2，求EF的长.5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点,交AD于点G，交AB于点F．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．BACDEGOF36.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点.过点D作⊙O的切线交AC边于点E.（1）求证：DE⊥AC；（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值.7.如图，△ABC内接于⊙O，6AB，4AC，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA，PB，PC，PD.（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）若55cosPCB，求PA的长.8.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，ABCD于D,且AB=8,DB=2.（1）求证：△ABC∽△CBD;（2）求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，参考数据73.13,14.3）.49.如图，AB是O⊙的直径，D是圆上一点，AD＝DC，连结AC，过点D作弦AC的平行线.MN（1）求证：MN是O⊙的切线；（2）已知106ABAD，，求弦BC的长.10.如图，在RtABC△中，90C°，点E在斜边AB上，以AE为直径的O⊙与BC相切于点.D（1）求证：AD平分.BAC（2）若34.ACAE，①求AD的值；②求图中阴影部分的面积.5证明题训练二答案第1题答案.（1）∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴APPDCPPB，∴PA·PB＝PC·PD；（2）∵F为BC中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由垂径定理：∴OM2＝（25）2－42＝4，ON2＝（25）2－32＝11又易证四边形MONP是矩形，∴OP＝2215OMON第2题答案.解：（1）证明：∵BDBD，∴CP．……2分又∵1C，∴1P．……4分∴CB∥PD．……5分(2)连接AC.∵AB为O的直径，∴90ACB．……7分又∵CDAB，∴BCBD．∴AP．∴sinsinAP．…………9分在Rt△ABC中,sinBCAAB，∵3sin5P，∴35BCAB．∵3BC，∴5AB．即O的直径为５.…………11分第3题答案.（1）证明：∵ODOC，90DOC，∴45ODCOCD．∵290DOCACD，∴45ACD．∴90ACDOCDOCA．∵点C在⊙O上，∴直线AC是⊙O的切线．2分（2）解：∵2ODOC，90DOC，可求22CD．ECODBA1P第19题图6GFEDBOAC∵75ACB，45ACD，∴30BCD．作DEBC于点E．∴90DEC．∴sin302DEDC．∵45B，∴2DB．5分第4题答案.（1）证法一、连接OD，则OD=OA………………………（1分）∴∠ADO=∠A=45°∴∠AOD=180°-45°-45°=90°∵O为AB中点，D为AC中点∴OD∥BC∴∠ABC=∠AOD=90°∴直径AB⊥BC∴BC是⊙O的切线……………………………（5分）证法二、连接BD……………………………（1分）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°又∵AD=DC，∴AB=CB∴∠ACD=∠CAB=45°∴∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=90°又∵AB为AB是⊙O的直径∴BC是⊙O的切线……………………………（5分）（2）解：在Rt△ABC中，BC=AB·tan∠A=2×tan45°=2在Rt△OBC中，∴OC=22BCOB=2221=5……………（7分）∵AB⊥EF∴∠EGO=90°∴∠EGO=∠ABC又∠EOG=∠COB∴△OEG∽△OCB…………………………（8分）∴BCEG=OCOE∴2EG=51EG=525∵直径AB⊥EF∴EF=2EG=545…………………………（10分）第5题答案.（1）证明：连接OE，------------------------------1分BACDEG7∵AB=AC且D是BC中点，∴AD⊥BC．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE．------------------------------3分∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA．∴∠OEA=∠DAE．∴OE∥AD．∴OE⊥BC．∴BC是⊙O的切线．---------------------------6分（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°．----------------------------7分∴∠EOB=60°．------------------------------8分∴∠EAO=∠EAG=30°．-------------------9分∴∠EFG=30°．------------------------------10分第6题答案.（1）证明：连接OD∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE…………………………2∵O为AB中点，D为BC中点，∴OD∥AC……………………………………………………3∴DE⊥AC……………………………………………………4分（2）过O作OF⊥BD，则BF=FD……………………………………………………………5在Rt△BFO中，∠B=30∴OF=21OB，BF=23OB…………………………………………………………………7分∵BD=DC，BF=FD∴FC=3BF=233OB…………………………………………………………………………8分Rt△OFC中，tan∠BCO=OFFC=1132933332OBOB………………………………………………10分8第7题答案.解：（1）当4BD时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形……………（2分）∵P是优弧BAC的中点，∴PCPB∵4BD，4AC∴ACBD又PCAPBD∴△PBD≌△PCA∴PAPD即△PAD是以AD为底边的等腰三角形………………（4分）（2）由（1）可知：当4BD时，PAPD，2BDABAD，过P作ADPE，垂足为E，则121ADAE，………（6分）∵PACPB弧弧，∴PADPCB，∴55coscosPAAEPADPCB，………………(8分)∴5PA.……………………(9分)第8题答案.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90,又ABCD，∴∠CDB=90……………………1分在△ABC与△CBD中，∠ACB=∠CDB=90,∠B=∠B,∴△ABC∽△CBD……………………………3分(2)解：∵△ABC∽△CBD∴.CBABDBCB∴ABDBCB2∵AB=8,DB=2,∴CB=4.在Rt△ABC中，,34166422BCABAC…………4分∴383442121ACCBSABC…………………………5分∴3.1128.11)3(84212ABCSS阴影部分…………6分第9题答案.（1）证明：连结OD，交AC于E，如图所示，9∵AD＝DC，∴OD⊥AC，…………………………………………………………………2分又∵AC∥MN，∴OD⊥MN，…………………………………………………………………3分∴MN是⊙O的切线.………………………………………………………………………4分（2）解：设OE＝x，∵AB＝10，∴OA=5，ED＝5－x，又∵AD=6在RtOAE△和RtDAE△中，∵22222OAOEAEADED，∴52－x2＝62－（5－x）2，解得：7.5x..……………………………………………………………………………7分∵AB是⊙O的直径，∴90ACB°，∴.ODBC∥∴OE是△ABC的中位线，∴BC＝2OE＝275＝145………………………………………………………10分第10题答案.（1）证明：连接OD，则OAOD，DAOODA.1分BC是O⊙的切线，.ODBC⊥ACBCODAC⊥，∥，2分.CADODADAOCADAD，平分.BAC4分（2）①连结ED，AE为直径，90ADEC°．又由（1）知DAOCADADEACD，△∽△，6分ADACAEAD，7分34ACAE，，23412ADAEAC·，1223AD．8分②在RtADE△中，233cos42ADDAEAE，1030DAE°．9分1202.AODDE°，1113.222AODADESSADDE△△·10分2120π24π.3603AODS扇形=11分4π3.3AODAODSSS△阴影扇形=12分