高二数学测试题-含答案解析

高二暑假班数学测试题一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．若abc，则下列结论中正确的是()A．a|c|b|c|B．abacC．a－cb－cD.1a1b1c【解析】选C.选项A中c＝0时不成立；选项B中a≤0时不成立；选项D中取a＝－2，b＝－1，c＝1验证，不成立，故选C.2．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24【解析】选A.由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.3．当x1时，不等式x＋1x－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]【解析】选D.因为当x1时，x＋1x－1＝1＋(x－1)＋1x－1≥3，所以x＋1x－1≥a恒成立，只需a≤3.4．等差数列{an}满足a24＋a27＋2a4a7＝9，则其前10项之和为()A．－9B．－15C．15D．±15【解析】选D.由已知(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，从而a1＋a10＝±3.所以S10＝a1＋a102×10＝±15.5．函数y＝x2＋2x－1(x＞1)的最小值是()A．23＋2B．23－2C．23D．2【解析】选A.因为x＞1，所以x－1＞0.所以y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2（x－1）＋3x－1＝（x－1）2＋2（x－1）＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥23＋2.6．不等式组x≥2x－y＋3≤0表示的平面区域是下列图中的(D)7．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为___3_____．解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．8．(2015·高考广东卷)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________．【解析】因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，所以5a5＝25，即a5＝5.所以a2＋a8＝2a5＝10.【答案】109.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x＋3y－6≤0，x＋y－2≥0，y≥0，所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．【解析】如图所示，M为图中阴影部分区域上的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以|OM|的最小值＝22＝2.【答案】210.(2015·高考全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件x－1≥0，x－y≤0，x＋y－4≤0，则yx的最大值为________．【解析】画出可行域如图阴影所示，因为yx表示过点(x，y)与原点(0，0)的直线的斜率，所以点(x，y)在点A处时yx最大．由x＝1，x＋y－4＝0，得x＝1，y＝3.所以A(1，3)．所以yx的最大值为3.【答案】311．(本小题满分12分)公差不为零的等差数列{an}中，a3＝7，且a2，a4，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.【解】(1)由数列{an}为公差不为零的等差数列，设其公差为d，且d≠0.因为a2，a4，a9成等比数列，所以a24＝a2·a9，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，整理得d2＝3a1d.因为d≠0，所以d＝3a1.①因为a3＝7，所以a1＋2d＝7.②由①②解得a1＝1，d＝3，所以an＝1＋(n－1)×3＝3n－2.故数列{an}的通项公式是an＝3n－2.(2)由(1)知bn＝23n－2，因为bn＋1bn＝23（n＋1）－223n－2＝8，所以{bn}是等比数列，且公比为8，首项b1＝2，所以Sn＝2（1－8n）1－8＝2（8n－1）7.12.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16.(1)求不等式g(x)0的解集；(2)若对一切x2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．【解】(1)g(x)＝2x2－4x－160，所以(2x＋4)(x－4)0，所以－2x4，所以不等式g(x)0的解集为{x|－2x4}．(2)因为f(x)＝x2－2x－8.当x2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，所以x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．所以对一切x2，均有不等式x2－4x＋7x－1≥m成立．而x2－4x＋7x－1＝(x－1)＋4x－1－2≥2（x－1）×4x－1－2＝2.(当且仅当x－1＝4x－1即x＝3时等号成立)所以实数m的取值范围是(－∞，2]．13．(本小题满分12分)画出不等式组x＋2y－1≥02x＋y－5≤0y≤x＋2所表示的平面区域并求其面积．解：如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域．由x－y＋2＝0，2x＋y－5＝0，得A(1,3)．同理得B(－1,1)，C(3，－1)．∴|AC|＝22＋42＝25，而点B到直线2x＋y－5＝0距离为d＝|－2＋1－5|5＝65，∴S△ABC＝12|AC|·d＝12×25×65＝6.14．(本小题满分14分)设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.【解】(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，当n＝1时，a1＝S1＝2满足上式，故{an}的通项公式为an＝4n－2.设{bn}的公比为q，由已知条件a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1知，b1＝2，b2＝12，所以q＝14，所以bn＝b1qn－1＝2×14n－1，即bn＝24n－1.(2)因为cn＝anbn＝4n－224n－1＝(2n－1)4n－1，所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n－1)4n－1.4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)4n.两式相减得：3Tn＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n＝13[(6n－5)4n＋5]．所以Tn＝19[(6n－5)4n＋5]．