2005年高考浙江理科数学试题及答案

2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．2321limnnn（）A．2B．1C．21D．02．点（1，－1）到直线01yx的距离是（）A．21B．23C．22D．2233．设)]21([,1||,11,1||,2|1|)(2ffxxxxxf则（）A．21B．134C．59D．41254．在复平面内，复数2)31(1iii对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．在8765)1()1()1()1(xxxx的展开式中，含3x的项的系数是（）A．74B．121C．－74D．－1216．设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且ml,.有如下两个命题：①若ml//,//则；②若.,则ml那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题7．设集合yxyxyxA1,,|),{(是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（）oyx0.50.5oyx0.50.5oyx0.50.5oyx0.50.5A．B．C．D．8．已知4k，则函数)1(cos2cosxkxy的最小值是（）A．1B．－1C．12kD．12k9．设})(|{}.7,6,5,4,3{},5,4,3,2,1{),(12)(PnfNnPQPNnnnf记，PQnfNnQ(},)(|{则)QQ()P（）A．{0，3}B．{1，2}C．{3，4，5}D．{1，2，6，7}10．已知向量a≠e，|e|=1满足：对任意tR，恒有|a－te|≥|a－e|.则（）A．a⊥eB．a⊥（a－e）C．e⊥（a－e）D．（a+e）⊥（a－e）第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.11．函数xxxy(2R，且)2x的反函数是.12．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图).现将△ADE沿DE折起，使二面角A—DE—B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于.13．过双曲线)0,0(12222babyax的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于.14．从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）.每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是（用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数.cossinsin3)(2xxxxf（Ⅰ）求)625(f的值；（Ⅱ）设sin,2341)2(),,0(求f的值.NMDABCE16．已知函数)()(xgxf和的图象关于原点对称，且.2)(2xxxf（Ⅰ）求函数)(xg的解析式；（Ⅱ）解不等式.|1|)()(xxfxg17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线xl与轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|=2∶1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线11),1|(|:lPxmxl为上的动点，使21PFF最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）.A1A2xoyMPF1F2l1l18．如图,在三棱锥P—ABC中,,,kPABCABBCAB点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.（Ⅰ）求证OD//平面PAB；（Ⅱ）当21k时，求直线PA与平面PBC所成角的大小;（Ⅲ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?BCPDAo19．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是31，从B中摸出一个红球的概率为p.（Ⅰ）从A中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止.(i)求恰好摸5次停止的概率;(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为,求随机变量的分布列及数学期望E.（Ⅱ）若A、B两个袋子中的球数之比为1∶2，将A、B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是52,求p的值.20．设点)2.(),0,(1nnnnnxPxA和抛物线),(:2NnbxaxyCnnn其中nnnxna,21421由以下方法得到：)2,(,1221xPx点在抛物线1121:bxaxyC上，点A1（x1，0）到P2的距离是A1到C1上的最短距离，……，点)2,(11nnnxP在抛物线上nnnbxaxyC2:上，点1)0,(nnnPxA到的距离是An到Cn上点的最短距离.（Ⅰ）求12Cx及的方程；（Ⅱ）证明}{nx是等差数列.数学试题（理科）参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。（1）C（2）D（3）B（4）B（5）D（6）D（7）A（8）A（9）A（10）C二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题４分，满分１６分。(11))1,(12xRxxxy且(12)90°(13)2(14)8424三．解答题(15)本题主要考查三角函数的倍角公式、两角和的公式等基础知识和基本的运算能力。满分14分。解:(I),23625cos,21625sin225252525()3sinsincos06666f(II).2sin21232cos23)(xxxf31313()cossin,222242f216sin4sin110解得8531sin(0,),sin0,故8531sin(16)本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识，以及运算和推理能力。满分14分。解：（I）设函数)(xfy的图象上任一点),(00yxQ关于原点的对称点为),(yxP,则.,,02,020000yyxxyxxx即)(),(00xfyyxQ在函数点的图象上，22,yxx即22,yxx故g(x)＝22xx.(II)由()()|1|gxfxx可得。2|2|1|0xx当x1时，0122xx此时不等式无解。当1x时0122xx211x因此，原不等式的解集为[－1，21].（17）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程，两条直线的夹角、点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。解：（Ｉ）设椭圆方程为),0(12222babyax半焦距为c,则acaMA21||，caFA||11由题意，得.1,3,2.,42),(22222cbacbaacaaca故椭圆方程为13422yx（II）设,0,0,1||),,(2100PFFymymP时当当,20,01210MPFPFFy时只需求21tanPFF的最大值即可.设直线PF1的斜率,1,102201mykPFmyk的斜率直线.11||12||21||2|1|tan20202020211221mymyymykkkkPFF当且仅当2102,||1PFFym时最大，.1||),1,(2mmmQ(18)本题主要考查空间线面关系、空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分14分。解：方法一：（Ｉ）O、D分别为AC、PC的中点。PAOD//又PA平面PAB.OD//平面PAB.(Ⅱ)ABBC,OAOC,OAOBOC又OP平面ABCPAPBPC.取BC中点Ｅ，连结PE,则BC平面POE.作OFPE于F,连结DF,则OF平面PBC,ODF是OD与平面PBC所成的角。又//,ODPAPA与平面PBC所成角的大小等于ODF。在ODFRt中，30210sinODOFODFPA与平面PBC所成的角为.30210arcsin（Ⅲ）由（Ⅱ）知，OF⊥平面PBC，∴F是O在平面PBC内的射影。D是PC的中点，若点F是PBC的重心，则B、F、D三点共线，直线OB在平面PBC内的射影为直线BD。OBPCPCBDPBBC，即1K。反之，当1K时，三棱锥OPBC为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为PBC的重心。方法二:OP平面ABC,,,OAOCABBC,,.OAOBOAOPOBOP以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，设aAB，则)0,0,22(),0,22,0(),0,0,22(aCaBaA.设),0,0(,hPhOP则(I)D为PC的中点，OD＝21(,0,)42ah，又2(,0,)2PAah,PAOD21OD//PAOD//平面PAB.(Ⅱ)aPAk2,21即ah27),27,0,22(aaPA可求得平面PBC的法向量),71,1,1(n.30210||||,cosnPAnPAnPA设PA与平面PBC所成的角为,则30210|,cos|sinnPAPA与平面PBC所成的角为30210arcsin(Ⅲ)PBC的重心),31,62,62(haaG)31,62,62(haaOGOG平面.PBC.OGPB又),22,0(haPB.0316122haPBOG.22ah.1,22kahOAPA即反之，当1k时，三棱椎OPBC为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为PBC的重心。（19）本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力。满分14分。解：（I）（i）.81831)32()31(2224C(ii)随机变量的取值为0,1,2,3.由n次独立重复试验概率公式knkknnppCkP)1()(得055132(0)(1),3243PC1451180(1)(1),33243PC22351180(2)()(1),33243PC3280217(3)1.24381P随机变量的分布列是0123P3224380243802431781的数学期望是3280801713101232432432438181E（Ⅱ）设袋子A有m个球，则袋子B中有2m个球。由,523231mmpm得.3013p（20）本题主要考查二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识，以及综合运用所学知识和解决问题的能力。满分14分。解：（I）由题意，得12117:),0,1(bxxyCA设点1),(CyxP是是上任意一点，则221)1(||yxPA2122)7()1(bxxx令2221()(1)(7),fxxxxb则'21()2(1)2(7)(27).fxxxxbx由题意，得'2()0,fx即2222122(1)2(7)(27)0.xxxbx又)2,(22xP在C1上，122272bxx解得213,14.xb故C1方程为2714.yxx(II)设点(,)Pxy是nC上任意一点，则222||()()nnnnAPxxxaxb令222()()()nnngxxxxaxb则'2()2()2()(2)nnnngxx