等比数列专题

等比数列专题[基础达标](30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.在等比数列{an}中，a1=，q=，an=，则项数n为()A.3B.4C.5D.6C【解析】由等比数列通项公式可知an=a1qn-1，则()-，解得n=5.2.[2016·重庆五月调研]已知等比数列{an}中，a1+a2=2，a4+a5=，则a1=()A.B.C.D.B【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q3=，q=，则a1+a2=a1+a1=a1=2，解得a1=.3.[2016·湖北部分重点中学联考]等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=6，S3=∫4xdx，则公比q的值为()A.1B.-C.1或-D.-1或-C【解析】S3=∫4xdx=2x2=18，所以当q=1时，符合条件.当q≠1时，联立方程组{，，即{，，解得q=-.所以公比q的值为1或-.4.[2017·宁夏银川一中月考]已知x，y为正实数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是()A.RB.(0，4]C.[4，+∞)D.(-∞，0]∪[4，+∞)C【解析】由x，a1，a2，y成等差数列得a1+a2=x+y，由x，b1，b2，y成等比数列得b1b2=xy，所以=2+()≥2+2=4.5.[2016·江西南昌二中、临川一中四月联考]等比数列{an}中，a3=5，a8=2，则数列{lgan}的前10项和等于()A.2B.5C.10D.lg50B【解析】由等比数列的性质知a3a8=a1a10=a2a9=a4a7=a5a6，所以数列{lgan}的前10项和为lga1+lga2+…+lga10=lga1·a2·…·a10=lg(a3a8)5=lg(5×2)5=5.6.[2016·黄山第二次质检]等比数列{an}满足a2+8a5=0，设Sn是数列{}的前n项和，则=()A.-11B.-8C.5D.11A【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q3==-，q=-，则数列{}也是等比数列，且公比为=-2，所以-()-()-=-11.二、填空题(每小题5分，共20分)7.[2016·常州期末测试]已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40，则的值为.117【解析】设等比数列{an}的公比为q(q0)，则a3+a4+a5+a6=(a1+a2)(q2+q4)=(q2+q4)=40，解得q=3.所以a1+a2=a1+a1q=4a1=，a1=，则=32+33+34=117.8.[2016·广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中联考]已知数列{an}是递减数列，且对任意的正整数n，an=-n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围为.(-∞，3)【解析】∵{an}是递减数列，∴an+1an，∵an=-n2+λn恒成立，即-(n+1)2+λ(n+1)-n2+λn，∴λ2n+1对任意n∈N*恒成立.而2n+1在n=1时取得最小值3，∴λ3.9.[2016·广东华附、省实、广雅、深中四校联考]已知数列{an}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{kn}的通项公式kn=.-【解析】由题意可得a1，a2，a5成等比数列，则=a1·a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，又d≠0，所以化简得d=2a1=2，所以等比数列的公比q==3，则=a1qn-1=a1+(kn-1)d，即3n-1=1+2(kn-1)，解得kn=--+1=-.10.设{an}是等比数列，公比q=√，Sn为{an}的前n项和.记Tn=-，n∈N*，设为数列{Tn}的最大项，则n0=.4【解析】Tn=-√-√--√-√√-√√-√√-√·(√)n+√-17，因为(√)n+√≥8，当且仅当(√)n=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值.三、解答题(共10分)11.(10分)[2016·黑龙江绥化一中期中测试]设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)由a1=1及Sn+1=4an+2，得a1+a2=4a1+2，∴a2=3a1+2=5，∴b1=a2-2a1=3，由于Sn+1=4an+2，①则当n≥2时，有Sn=4an-1+2.②①-②得an+1=4an-4an-1，∴an+1-2an=2(an-2an-1)，又∵bn=an+1-2an，∴bn=2bn-1，∴数列{bn}是首项b1=3，公比为2的等比数列.(2)由(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1，∴，∴数列{}是首项为，公差为的等差数列.∴(n-1)=n-，∴an=(3n-1)·2n-2.[高考冲关](25分钟40分)1.(5分)[2016·合肥一中模拟]设实数列{an}和{bn}分别是等差数列与等比数列，且a1=b1=16，a5=b5=1，则以下结论正确的是()A.a2a3B.a3b3C.a3b3D.b2b3B【解析】由{an}是等差数列，且a1=16，a5=1，得公差d0，所以a2a3，A错误；a3=√=b3，B正确，C错误；由{bn}是等比数列，且b1=16，b5=1，得公比q=或-，当q=-时，b2=-8b3=4，D错误.2.(5分)已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，则常数p的值为()A.2B.3C.2或3D.5C【解析】由数列{cn+1-pcn}为等比数列，得(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)，即(35-13p)2=(13-5p)(97-35p)，解得p=2或p=3.3.(5分)[2016·深圳第一次调研]数列{an}满足an={-，--(n≥2)，若{an}为等比数列，则a1的取值范围是.[，)【解析】由题意可得当{an}为等比数列时，an-1≥n2，∀n≥2恒成立，此时an=2n-1a1，所以2n-1a1≥(n+1)2，即a1≥-，∀n∈N*恒成立，则a1≥[-]，n∈N*.令bn=-，则bn+1-bn=--，所以b1b2b3…，则(bn)max=b2=，故a1≥.4.(12分)[2016·哈尔滨六中期中测试]已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2(an-1)，数列{bn}满足：对任意n∈N*有a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)·2n+1+2.(1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式；(2)记cn=，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：当n≥6时，n|2-Tn|1.【解析】(1)当n=1时，S1=a1=2(a1-1)，所以a1=2.当n1时，an=Sn-Sn-1=2(an-an-1)，即an=2an-1，所以数列{an}是首项a1=2，公比q=2的等比数列，通项公式为an=2n(n∈N*).由题意有a1b1=(1-1)·22+2=2，得b1=1.当n≥2时，anbn=(a1b1+a2b2+…+anbn)-(a1b1+a2b2+…+an-1bn-1)=[(n-1)·2n+1+2]-[(n-2)·2n+2]=n·2n，所以bn=n，显然b1=1满足该式，故数列{bn}的通项公式为bn=n(n∈N*).(2)因为Tn=+…++…+，所以Tn=+…+，两式相减得Tn=+…+(-)-=1-，所以Tn=2-，即|2-Tn|=.下证：当n≥6时，1，令f(n)=，f(n+1)-f(n)=-，当n≥2时，f(n+1)-f(n)0，即当n≥2时，f(n)单调递减，又f(6)1，所以当n≥6时，f(n)1，即1，即当n≥6时，n|2-Tn|1.5.(13分)已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2，1)和B(5，2)，记an=3f(n)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=，Tn=b1+b2+…+bn，若Tnm(m∈Z)，求m的最小值；(3)求使不等式()()()≥p√对一切n∈N*均成立的最大实数p.【解析】(1)由题意得{，，解得{，-，∴f(x)=log3(2x-1)，∴an=-=2n-1，n∈N*.(2)由(1)得bn=-，∴Tn=+…+---，①Tn=+…+----.②①-②得Tn=+…+--++…+------.∴Tn=3---=3-，设f(n)=，n∈N*，则由1，得f(n)=，n∈N*随n的增大而减小，∴T(n)3，又Tnm(m∈Z)恒成立，∴mmin=3.(3)由题意得p≤√()()()对n∈N*恒成立.记F(n)=√()()()，则√()()()()√()()()=√=√-=1.又∵F(n)0，∴F(n+1)F(n)，即F(n)随n的增大而增大，F(n)的最小值为F(1)=√，∴p≤√，即pmax=√.