(高三文科)三角函数的图象和性质

第1页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航第四章三角函数与解三角形第2页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航第19讲三角函数的图象和性质第3页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航链教材·夯基固本栏目导航研题型·技法通关第4页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航链教材·夯基固本第5页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航激活思维1．函数y＝3sin2x＋π6的最小正周期和最小值分别是()A．π和3B.π2和3C．π和－3D.π2和－3C【解析】最小正周期T＝2πω＝2π2＝π，最小值为－3.第6页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航2．为了得到函数y＝sinx＋π3的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点()A．向左平移π3个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向上平移π3个单位长度D．向下平移π3个单位长度A【解析】由题意，为得到函数y＝sinx＋π3的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位长度．第7页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数的表达式为()A．y＝2sin1011x＋π6B．y＝2sin1011x－π6C．y＝2sin2x＋π6D．y＝2sin2x－π6C【解析】由图象可知A＝2，T＝2·2π3－π6＝π，即2πω＝π，则ω＝2.又点π6，2在函数图象上，所以有2＝2sin2×π6＋φ，解得φ＝π6，故y＝2sin2x＋π6.(第3题)第8页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航4．函数y＝tan2x的定义域是()A.xx≠kπ＋π4，k∈ZB.xx≠kπ2＋π8，k∈ZC.xx≠kπ＋π8，k∈ZD.xx≠kπ2＋π4，k∈ZD【解析】由2x≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ2＋π4，k∈Z，所以y＝tan2x的定义域为xx≠kπ2＋π4，k∈Z.第9页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航5．在[－π，π]上既是增函数，又是奇函数的是()A．y＝sinx2B．y＝cosx2C．y＝－sinx4D．y＝sin2xA【解析】当－π2≤x2≤π2，即－π≤x≤π时，y＝sinx2单调递增，且y＝sinx2是奇函数．第10页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航知识梳理1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质：函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RRxx≠π2＋kπ，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R单调区间(k∈Z)增区间：2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)；减区间：2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)增区间：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；减区间：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)增区间：kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)第11页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航周期性2π2ππ奇偶性奇偶奇最值当x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝3π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1无最值对称中心(kπ，0)(k∈Z)kπ＋π2，0(k∈Z)kπ2，0(k∈Z)对称轴x＝kπ＋π2(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)无对称轴第12页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)y＝Asin(ωx＋φ)表示一个振动量的有关概念振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈RAT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ第13页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航(2)函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：第14页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航研题型·技法通关第15页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航目标1三角函数的性质(1)在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为()A．①②③B．①③④C．②④D．①③A第16页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论中错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在π2，π上单调递减D第17页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航(3)函数f(x)＝2sin－2x＋π3－1的最小正周期是________，最大值为________，最小值为________，单调减区间为_____________________________．π1－3kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)【分析】(1)根据三角函数的周期和函数y＝f(|x|)，y＝|f(x)|的奇偶性进行判断；(2)根据三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质进行判断；(3)把自变量x的系数化为正数，参照基本函数y＝sinx的单调减区间，再进行求解．第18页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航【解析】(1)由y＝cosx是偶函数可知y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π，即①正确；y＝|cosx|的最小正周期也是π，即②也正确；y＝cos2x＋π6的最小正周期为π，即③正确；y＝tan2x－π4的最小正周期为T＝π2，即④不正确．故正确答案为①②③.第19页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航(2)函数f(x)＝cosx＋π3的图象可由y＝cosx的图象向左平移π3个单位长度得到，由图可知，f(x)在π2，π上先减后增，所以D选项错误．故选D.(例1(2))第20页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航(3)最小正周期T＝2π－2＝π，最大值为f(x)max＝2－1＝1，最小值为f(x)min＝－2－1＝－3.已知函数f(x)＝2sin－2x＋π3－1＝－2sin2x－π3－1，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin2x－π3的单调增区间．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所给函数的单调减区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．第21页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航【点评】(1)周期性是三角函数最常用的性质，求周期常用的方法是利用公式T＝2πω，需要注意ω为正值，保证2πω是最小正周期，有时也可以用图象直观判断函数的周期，如求y＝|cosx|的周期，画出y＝|cosx|的图象，可观察得周期为π；(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的最大值是|A|，最小值是－|A|；(3)求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω＜0)的函数单调区间的方法是：①通过等价变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，即把“ωx＋φ”变为“－ωx－φ”，使－ω＞0，且把它视为一个“整体”；②函数y＝－Asin(－ωx－φ)的单调增(减)区间为原函数的单调减(增)区间．第22页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航已知函数y＝2sin2x＋π3的图象关于点P(x0,0)对称，若x0∈－π2，0，则x0＝________.－π6【解析】由题意可知2x0＋π3＝kπ，k∈Z，故x0＝kπ2－π6，k∈Z.又x0∈－π2，0，所以k＝0时，x0＝－π6.第23页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航目标2函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(1)函数y＝2sin13x－π6＋3(x∈R)的图象是由函数f(x)＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？(2)如图是y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象，则该函数的解析式是________________．(例2(2))y＝3sin2x＋π3第24页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航【分析】(1)三角函数的图象变换一般有两条：一是由相位变换开始，经周期变换、振幅变换、再上下变换得到；二是由周期变换开始，经相位变换、振幅变换、上下变换而得到．(2)要求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，就是要求A，ω，φ的值，可根据图象和A，ω，φ的实际意义进行求解．第25页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航【解答】(1)方法一：先变相位，即将函数f(x)＝sinx的图象上所有点向右平移π6个单位长度，得到函数fx－π6＝sinx－π6的图象；再周期变换，即把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到f13x－π6＝sin13x－π6的图象；然后变振幅，即所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2f13x－π6＝2sin13x－π6的图象；最后上下平移，即把所得的图象向上平移3个单位长度，就得到函数y＝2sin13x－π6＋3(x∈R)的图象．第26页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航方法二：先变周期，即将函数f(x)＝sinx(x∈R)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到f13x＝sin13x的图象；再变相位，即把后者所有点向右平行移动π2个单位长度，得到函数f13x－π2＝sin13x－π2＝sin13x－π6的图象；然后变振幅，即所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2f13x－π6＝2sin13x－π6的图象；最后上下平移，即把所得的图象向上平移3个单位长度，就得到函数y＝2sin13x－π6＋3(x∈R)的图象．第27页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航【解析】方法一：(起点法，即利用对应点中的第一个零点)由图象知振幅A＝3.又T＝5π6－－π6＝π，所以ω＝2πT＝2ππ＝2.由点－π6，0在图象上，且为图象的第一个零点，因此令－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3，所以y＝3sin2x＋π3.方法二：(五点作图法，即利用五点作图对应点的方法)第28页第四章三角函数与解三角形高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航由图象知A＝3，又图象过点π3，0和5π6，0，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有π3·ω＋φ＝π，5π6·ω＋φ＝2π，解得ω＝2，φ＝π3，所以y＝3sin2x＋π3.方法三：(图象变换法，即利用图象变换的方法，看已知图象与函数y＝