【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件：8.4直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)直线与圆的位置关系与判断方法方法过程依据结论代数法联立方程组消去x(或y)得一元二次方程,计算Δ=b2-4acΔ0_____Δ=0_____Δ0_____几何法计算圆心到直线的距离d,比较d与半径r的关系.相交时弦长为d__r相交d__r相切d__r相离222rd－相交相切相离=(2)圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r10),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r20).方法位置关系几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况外离__________解外切____________实数解相交_________________________实数解内切d=_______(r1≠r2)一组实数解内含0___d__|r1-r2|(r1≠r2)无解dr1+r2无d=r1+r2一组|r1-r2|dr1+r2两组不同的|r1-r2|≤2.必备结论教材提炼记一记(1)两圆公切线的条数位置关系内含内切相交外切外离公切线条数__________01234(2)弦长公式|AB|=_______(3)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线.21k|xA-xB|22ABAB1k[xx4xx]3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:代数法,几何法.(2)数学思想:数形结合思想,方程思想,分类讨论思想.(3)记忆口诀:圆的辅助线三圆和两圆,圆心紧相连;两圆紧为伴,必连公切线;两圆扣成环,必连公共弦.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.()(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()(5)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.()【解析】(1)正确.直线与圆组成的方程组有一组解时,直线与圆相切,有两组解时,直线与圆相交.(2)错误.因为除外切外,还可能内切.(3)错误.因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值,否则可能内切或内含.(4)错误.只有当两圆相交时,方程才是公共弦所在的直线方程.(5)正确.由已知可得O,P,A,B四点共圆,其方程为即x2+y2-x0x-y0y=0,①又圆O方程:x2+y2=r2,②②-①得:x0x+y0y=r2,而两圆相交于A,B两点,故直线AB的方程是x0x+y0y=r2.答案:(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√22220000xyxy(x)(y)()(),22222.教材改编链接教材练一练(1)(必修2P133A组T9改编)圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在的直线方程为.【解析】由得4x-4y+8=0,即x-y+2=0.答案:x-y+2=02222xy40,xy4x4y120(2)(必修2P132A组T5改编)直线l:3x-y-6=0与圆x2+y2-2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|=.【解析】由x2+y2-2x-4y=0,得(x-1)2+(y-2)2=5,所以该圆的圆心坐标为(1,2),半径r=,又圆心(1,2)到直线3x-y-6=0的距离为d=由=r2-d2,得答案:5|326|10291，2AB()225AB4(5)10,AB10.2即103.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·安徽高考)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()【解析】选D.设过点P与圆相切的直线方程为y+1=k(x+)，则圆心到该直线的距离解得k1=0,k2=，画出图形可得直线l的倾斜角的取值范围是3A.(0,B.(0,C.[0,D.[0,]6363323k1d11k，3[0,].3(2)(2014·湖南高考)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-11【解析】选C.圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径为r1=1,圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0的圆心为C2(3,4),半径为r2=,所以|C1C2|=5,r1+r2=1+,因为圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,所以5=1+,m=9.25m－25m－25m－(3)(2014·重庆高考)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为.【解析】圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9,圆心为C(-1,2),半径为3.因为AC⊥BC,易知圆心到直线的距离为即解得a=0或a=6.答案:0或6322，|12a|3222，考点1直线与圆的位置关系【典例1】(1)(2014·浙江高考)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()(本题源于教材必修2P127例2)A.-2B.-4C.-6D.-8(2)(2013·天津高考)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=()A.-B.1C.2D.【解题提示】(1)将圆的方程化为标准方程,计算圆心到直线的距离,利用勾股定理求解.(2)根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直求a的值.1212【规范解答】(1)选B.由x2+y2+2x-2y+a=0得(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心坐标为(-1,1),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离为所以22+()2=2-a,解得a=-4.2a11222，2【一题多解】本题还可以用如下的方法解决:选B.联立直线与圆的方程消去y得:2x2+8x+a+8=0,所以x1+x2=-4,x1x2=a8,222xy20,xy2x2ya0,222121212a811xx2xx4xx24422a,42a4,a4.弦长又弦长为，所以(2)选C.因为点P(2,2)为圆(x-1)2+y2=5上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k=2,故过点P(2,2)的切线斜率为-,所以直线ax-y+1=0的斜率为2,因此a=2.12【互动探究】若本例(2)中“且与直线ax-y+1=0垂直”改为“且与直线ax-y+1=0平行”,结果如何?【解析】选A.由(2)的解法知:切线的斜率为-,又切线与直线ax-y+1=0平行,所以a=-,故选A.1212【规律方法】1.圆的切线方程的求法(1)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.(2)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.提醒:若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过M点的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.2.弦长的求法(1)代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.(2)几何方法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长提醒:代数法计算量较大,一般选用几何法.222rd.＝－l【变式训练】(2014·湖北高考)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=.【解析】依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的圆心到l1:y=x+a的距离为圆心到l2:y=x+b的距离为即所以a2=b2=1，故a2+b2=2.答案：214，22|0101a|11，22|0101b|11，aba2cos452222，，【加固训练】1.(2015·丽水模拟)若圆心在x轴上,半径为的圆C位于y轴左侧,且被直线x+2y=0截得的弦长为4,则圆C的方程是()A.(x-)2+y2=5B.(x+)2+y2=5C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5555【解析】选B.设圆心为(a,0)(a＜0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则解得a=-,所以，所求圆的方程为:(x+)2+y2=5.22a20d112，552.直线ax-y+2a=0与圆x2+y2=9的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定【解析】选C.直线ax-y+2a=0⇒a(x+2)-y=0,即直线恒过点(-2,0),因为点(-2,0)在圆内,所以直线与圆相交.3.过圆x2+y2=1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点,则|AB|的最小值为()A.B.C.2D.323【解析】选C.设圆上的点为(x0，y0)，其中x0＞0，y0＞0，则切线方程为x0x＋y0y＝1.分别令x＝0，y＝0得0011A(0)B(0)xy，，，，22220000001111AB()()2.xyxyxy2所以＝＝＝考点2圆与圆的位置关系【典例2】(1)与圆x2+y2+4x-4y+7=0和x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条(2)圆O1的方程为:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心坐标为(2,1).①若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程;②若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|=求圆O2的方程.22，【解题提示】(1)先判断两圆的位置关系,然后再判断切线的条数.(2)①根据两圆外切确定圆O2的半径,然后求圆的方程.②若两圆相交,则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.【规范解答】(1)选C.由题意知,两圆圆心分别为(-2,2)与(2,5),半径分别为1和4,圆心距为=5,显然两圆外切,故公切线的条数为3.(2)①因为圆O1的方程为:x2+(y+1)2=4,所以圆心O1(0,-1),半径r1=2.设圆O2的半径为r2,由两圆外切知|O1O2|=r1+r2,圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=12-8.22222522122121OO201122rOOr222又，所以，2②设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r22，又圆O1的方程为：x2+(y+1)2=4,相减得公共弦AB所在的直线方程为4x+4y+r22-8=0.作O1H⊥AB于H，则|AH|=因为r1=2，所以|O1H|=又|O1H|=所以得r22=4或r22=20，所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.1AB22，221rAH2，2222224041r8r124244，22r12242，【规律方法】1.判断两圆位置关系的方法常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系,一般不用代数法.2.两圆公共弦长的求法两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.2l【变式训练】若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.【解析】依题意得|OO1|＝＝5，且△OO1A是直角三角形，△OO1A的面积＝