南京大学微积分2(第一层次)06-08年期末试卷

南京大学《大学数学》（理一）第二学期期末考试试卷2006.6.6一.（10分）设(,)zzxy是由方程ln(235)532xyzzyx确定的函数，求zzxy.二.（10分）求球面2224xyz在柱面222xyy内部的那部分球面的面积.三.（8分）求2(3sin(2)(6sin(2))yyxydxxyxxydy的原函数.四.（8分×2=16分）1.计算222221(),:(01)Ixydzdxzdxdyxyzz取下侧.2.计算222(sin)(cos),()xxLeymydxeymdyIxay其中L为由(2,0)Aa沿上半圆周222xyax至原点(0,0)(0)Oa.五.（8分）求函数ln(23)uxyz在点(111)，，处的梯度及沿(1,2,2)l的方向导数.六.（6分×2=12分）判别下列级数的敛散性（绝对收敛，条件收敛，发散？）1.22sin(1)nnnnnn,2.2(1)(1)nnnnn.七.（8分）设有级数0400(A):(),(B):.4nnnnnnnaaxxx已知（A）的收敛域为[1,5)，（1）求0x，（2）求（B）的收敛半径.八．（8分）将2221(1)xtttedt在1x处展开为幂级数，并指出其收敛域.九．（10分）求1,0,()2,0,xfxx的傅氏级数以及该级数的和函数.十．（8分）判别广义积分111xedxx的敛散性.南京大学《大学数学》（理一）第二学期期末考试试卷2007.6.12一.简答题（5分×8=40分）1.计算Dxd，其中D为第一象限内221xy与x轴，y轴所围的闭区域.2.已知2sin()zxy，求22,,zzzxyy.3.计算222()CxyzdS，其中C为螺旋线：cos,sin,(02)xatyatzbtt的部分.4.求级数11()nnnm的和，其中m是一固定的自然数.5.判别11ln(1)xdxx的敛散性.6.已知2uxyz，求u在点(9,12,10)M梯度()graduM.7.求函数2()12xfxxx在0x的幂级数展开式，并指出收敛范围.8.求与两直线1L：1,1,2.xytzt及2121121xyzL：都平行且过原点的平面方程.二、（10分）证明曲面3(0)xyzaa上任何一点处的切平面与坐标面所围成的四面体的体积等于一个常数.三、（10分）计算三重积分222222xyzdxdydzabc(1-)，其中为椭球体：2222221xyzabc.四、（10分）讨论级数111nnnn的敛散性.五、（10分）求幂级数1111123nnxn的收敛半径，并讨论端点的收敛性.六、（10分）求曲环面：(cos)cos,(cos)sin,sin(0)xbaybazaab所界的物体体积.七、（10分）计算曲线积分[()][()]xxAmByemydxyemdy，式中()y与()y为连续函数，AmB为连接点1122(,)(,)AxyBxy和的任意逐段光滑曲线，但与线段AB围成的面积为A的平面区域DAmB.南京大学《大学数学》（理一）第二学期期末考试试卷2008.6.20一.（10分）求椭球面2222321xyz上某点处的切平面的方程，使平面过已知直线6321:212xyzL.二.（10分）求曲面21zxy上到原点最近的点.三.（8分）计算三重积分222xyzdxdydz，其中是球体222xyzz.四.计算曲线积分（2×8分=16分）.1.222zdlxy，其中的参数方程是：3cos,3sin,3(02)xtytztt.2.(e+)(ecos7)xxsiny8ydxyxdy,其中为由点(2,0)A沿22(4)9xy到点(6,0)B的一段.五.计算曲面积分（2×10分=20分）.1.求222()xyzdS，其中为2222(12)xyzzz.2.设为上半球面224zxy的上侧，计算3326zxdydzzydzdxzdxdy.六.（8分）判别级数11(1)sinnnnn的敛散性（包括条件收敛或绝对收敛）.七.（8分）判别广义积分11sin2xdxx的敛散性.八.（10分）将1xdedxx在00x处展开为幂级数.并证明11(1)!nnn.九.（10分）设,0,2(),0,2xxfxxx求()fx以2为周期的傅氏级数与和函数.