2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查-必修部分42-空间点、直线、平面之间的位置关系

开卷速查(四十二)空间点、直线、平面之间的位置关系A级基础巩固练1．平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，C∈β，又AB∩l＝R，如图所示，过A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线ACB．直线BCC．直线CRD．直线AR解析：由已知条件可知，C∈γ，AB∩l＝R，AB⊂γ，∴R∈γ.又∵C，R∈β，故CR＝β∩γ.答案：C2．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A、M、O三点共线B．A、M、O、A1不共面C．A、M、C、O不共面D．B、B1、O、M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面．∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点．同理OA为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．∴A、M、O三点共线.答案：A3．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.答案：A4．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案：D5．在正四棱锥V­ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为()A.π6B．π4C.π3D.π2解析：如图所示，设AC∩BD＝O，连接VO，由于四棱锥V­ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为π2.答案：D6．已知l，m，n是空间中的三条直线，命题p：若m⊥l，n⊥l，则m∥n；命题q：若直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∨qC．p∨(綈q)D．(綈p)∧q解析：命题p中，m，n可能平行、还可能相交或异面，所以命题p为假命题；命题q中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题．所以綈p和綈q都为真命题，故p∨(綈q)为真命题．选C.答案：C7．下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是______．①②③④解析：在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案：①②③8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________．解析：如图，连接D1M，可证D1M⊥DN.又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1，∴DN⊥A1M，即夹角为90°.答案：90°9．如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．解析：在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作BH⊥AE于H，连接B1H，则在Rt△AHB1中，∠B1AH为AB1与BD所成角．设AB＝1，则A1A＝2，∴B1A＝3，AH＝BD＝32，∴cos∠B1AH＝AHAB1＝12，∴∠B1AH＝60°.答案：60°10．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊12FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形．(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解析：(1)由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊12AD.又BC綊12AD，∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)方法一：由BE綊12AF，G为FA中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．方法二：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′，∵BE綊12AF，∴B为MA中点．∵BC綊12AD，∴B为M′A中点．∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)．∴C、D、F、E四点共面．B级能力提升练11．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°解析：如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A，B，C不正确．∴正确选项为D.图2中，BE∥CD，∠ABE为AB与CD所成的角，△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°.图1图2答案：D12．[2014·课标全国Ⅱ]直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110B．25C.3010D.22解析：建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以BM→＝(1，－1,2)，AN→＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝|BM→·AN→||BM→|·|AN→|＝36×5＝3010.答案：C13．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是()A．(0，2)B．(0，3)C．(1，2)D．(1，3)解析：如图所示的四面体ABCD中，设AB＝a，则由题意可得CD＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a0.取CD中点E，连接AE，BE，则AE⊥CD，BE⊥CD且AE＝BE＝1－222＝22，显然A，B，E三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22a，解得0a2.答案：A14．(1)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P点与a和b所成角φ＝45°的直线有几条？(2)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P点与a和b所成角φ＝60°的直线有几条？(3)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P点与a与b所成角φ＝70°的直线有几条？解析：过点P作直线a′∥a，b′∥b，且a′与b′所确定的平面为α.(1)过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为45°.(2)过P点在平面α内存在一条直线(120°的角平分线)与a、b所成的角为60°；过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为60°，则与a、b所成的角为60°的直线有3条．(3)过P点在平面α外a′、b′成60°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，过P点在平面α外a′、b′成120°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，则与a、b所成的角为70°的直线有4条．