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当前位置:首页 > 临时分类 > 2017年全国1卷高考题正态分布题目
(2017年全国1卷高考题)19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N.(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数,求(1)PX及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx,161622221111()(16)0.2121616iiiisxxxx,其中ix为抽取的第i个零件的尺寸,1,2,,16i.用样本平均数x作为的估计值ˆ,用样本标准差s作为的估计值ˆ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除ˆˆˆˆ(3,3)之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布2(,)N,则(33)0.9974PZ,160.99740.9592,0.0080.09.19.【解】(1)抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为0.0026,故~(16,0.0026)XB.因此(1)1(0)10.99740.0408PXPX.X的数学期望为160.00260.0416EX.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由9.97,0.212xs,得的估计值为ˆ9.97,的估计值为ˆ0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215,因此的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134iix,剔除ˆˆˆˆ(3,3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815,因此的估计值为0.0080.0918.(本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s(同一组数据用该区间的中点值作代表);(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布2(,)N,其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差2s.(i)利用该正态分布,求(187.8212.2)PZ;(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附:150≈12.2.若Z~2(,)N,则()PZ=0.6826,(22)PZ=0.9544.(18)解:(I)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差2s分别为1700.021800.091900.222000.33x2100.242200.082300.02=2002222(30)0.02(20)0.09(10)0.22s22200.33100.24200.08300.02150.……6分(II)(i)由(I)知,~(200,150)ZN,从而(187.8212.2=(20012.220012.2)0.6826.PZPZ)……9分(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X-B(100,0.6826),所以1000.682668.26.EX……
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