振动与波动

第八章振动与波动中国国家管弦乐团在联合国总部的演出振动与波动是密切联系的物理现象。振动是产生波动的根源，波动是振动在空间的传播。过去，人们习惯于将振动与波动纳入力学的范畴，实际上振动与波动的内容贯穿在力学、电磁学、光学乃至量子力学之中。机械振动在介质中的传播形成机械波，电磁振动在空间的传播形成电磁波。虽然机械振动和机械波与电磁振动和电磁波在本质上有所不同，但它们的变化规律是类似的。因此，本章讨论机械振动和机械波的基本规律，但这些规律的意义绝不局限于力学，它是研究光学、量子力学乃至整个物理学的基础。引言我国返回式卫星使用的搭载桶正在进行振动试验。一、简谐振动1.简谐振动的定义无阻尼的等幅振动称简谐振动。典型的简谐振动是弹簧振子（springoscillator）的运动。在弹簧振子中，振动的物体受到弹性力的作用，弹性力服从胡克定律。kxFmFX0xkmFx0xkkxF简谐振动并不局限于弹簧振子。对于摆的运动、木块在水面上的浮动等类似的运动，运动物体所受的力与弹性力相似，称为准弹性力。这种在准弹性力作用下的运动也是简谐振动。0dd222xtxmk2.简谐振动的数学模型maF22ddtxakxF角频率（angularfrequency）2频率)cos(tAx这个结果表明，振动物体的位移和振动时间的关系满足余弦函数的关系，这个结果可作为简谐振动的定义。（1）模型的解——位移与时间的关系A，是积分常数0dd222xtx21T)(cos)cos(TtAtA2T振幅（amplitude)A:振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。周期(period)T:物体完成一次全振动所需时间。频率（frequency):单位时间内振动的次数。22T角频率(angularfrequency):相位(phase)—决定谐振动物体的运动状态t:初相位（initialphase）(2)各参量的物理意义)cos(tAxdsin()cos()d2mxvAtvtt)cos()cos(2tatAdtdvam)cos(tAxAvmAam2（3）振动物体的速度和加速度)cos()(tωAtx)cos(2tAa)sin(tAvtxOA-A=2是振动物体t时刻的相位)(t相位的意义:相位确定了振动的状态.相位每改变2振动重复一次（4）相位)cos(tAx两个频率相同的简谐振动：111costAx222costAx相位差为1212)()(tt称振动2的相位超前振动1的相位。两个振动的超前、同向与反向12＞0，振动（b)超前振动(a)12＝,,,420称这两个振动同相或同步12＝,,3称这两个振动反相两个振动同相两个振动反相)cos(tAxsin()vAt2cos()aAt)2cos(tmvv)cos(taam（6）位移、速度和加速度的函数曲线速度的相位比位移的相位超前2加速度的相位比位移的相位超前tx图tv图ta图TAA2A2AxvatttAAoooTT)0()cos(tAx)2cos(tmvv)cos(taam)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEP221kAEEEpk简谐振动的势能曲线kEpExEBCAApExO振动能量是守恒的（7）振动的能量谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:tAxcos221kAEPEkEEotxot动能和势能的变化频率是振动频率的二倍。与时间有关的物理量F(t)在时间间隔T内的平均值为：01dTFFttT2222002k41)d(sin211d211kAttAmTtmTETT222002p41)d(cos211d211kAttkATtkxTETT在一个振动周期内，平均势能等于平均动能。（8）谐振动表示的旋转矢量法矢量A以匀角速度绕原点O旋转时，A在x轴上的投影的变化规律与简谐振动相同.因此,可以用旋转矢量来表示简谐振动。xoAcos0Ax0t0xxoAttt)cos(tAx位移、速度与加速度的旋转矢量小结：简谐振动可以有不同的定义方法简谐振动的能量是守恒的相位决定了简谐振动的运动特征简谐振动的形式是多种多样的小结物体作简谐振动，振幅为0.24m，振动周期为4s。开始时物体在x=0.12m处，向负方向运动。求该物体的振动方程，t=1s时物体的位移、速度和加速度。)s(rad24221-Tcos240120..cos213解：由初始条件得32cos24.0tx3)sin(tAtAacos2单摆的运动方程sinsinmgGfsindd22mgtml0sindd22lgt361sin0dd22lgt0dd222tlg/2glT2单摆的等时性周期或频率与初始条件无关计时和测gabOx立方形木块浮于静水中，其浸入部分的高度为a，用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入部分的高度为b，然后放手让其运动。证明，若不计水对木块的粘滞阻力，木块的运动是简谐振动，并求出振动的周期和振幅。解：当木块在某时刻向下位移为x时，木块所受浮力的增量为FxSg负号表示浮力与位移方向相反22ddxmxSgtmaS水的密度22ddxgxtaga2TagAba§2阻尼振动和共振（DampedVibrationandResonance）振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为无阻尼自由振动.在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动(dampedvibration)。阻尼是消耗振动系统能量的原因，阻尼种类可分为摩擦阻尼和辐射阻尼。对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示为txCCvfddC为阻尼系数一、阻尼振动maCvkx0dddd22kxtxCtxm做阻尼振动的弹簧振子的运动方程对做阻尼振动的弹簧振子0dd2dd22xtxtx2mC2mktAetxrtcos22r其中,A和为积分常数,由初始条件决定。该式表明，阻尼振动不是简谐振动。阻尼振动位移时间曲线AAtOxtAeTtAetrcos)0(tAetxrtcos22r余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动；说明振幅随时间作指数衰减，阻尼大小决定了阻尼振动振幅的衰减程度。te在应用中，通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。22欠阻尼(a)22大阻尼(b)22临界阻尼(c)otx三种阻尼的比较abc有阻尼时，运动有三种情况弹簧门仪表调零mC2二、受迫振动（Forcedvibration）物体在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动（forcedvibration），周期性的外力称为驱动力（drivingforce）。周期性驱动力，F为驱动力的振幅。matFCkxcos0tmFxtxtxcosdd2dd02022mk20在阻尼较小的情况下，方程的解为002200coscostAteAxt系统的振动由一个减幅的阻尼振动和一个振幅不变的简谐振动组成，稳定后的状态为简谐振动。受迫振动的振幅为稳态时的受迫振动的特点:受迫振动的角频率不是振子的固有角频率，而是驱动力的角频率。22222004mFA受迫振动的振幅A与起始条件无关，由振子的性质、阻尼的大小和驱动力的特征来决定。题外话自激振动三、共振（Resonance）对于受迫振动，当外力幅值恒定时，稳定态振幅随驱动力的频率而变化。当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为（位移）共振。22222004mFA0ddA共振频率2202－＝共振0，若达到共振。0，A，共振条件收音机小提琴电视机音箱核磁共振仪音乐厅共振的利用1940年7月1日美国Tocama悬索桥坍塌共振的危害§3简谐振动的合成)cos()cos(2211tAtAtAAtAAsin)sinsin(cos)coscos(22112211cosAsinA)cos(sinsincoscostAtAtAx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(111tAx)cos(222tAx21xxx结论：合振动仍是简谐振动！一、同方向同频率的简谐振动的合成旋转矢量法处理谐振动的合成11A2A2Ax2x1x21xxxO1221xxx)cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA1.若两分振动同相,21=2k，(k=0,1,2,…)则A=A1+A2,两分振动相互加强。)cos(212212221AAAAA)cos(tAx2.若两分振动反相,即21=(2k+1)(k=0,1,2,…)则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱，二、同方向不同频率的简谐振动的合成拍1111costAx2222costAxtAAAAA12212221cos2振幅在21AAA和21AAA之间周期性地变化称振幅调制。121221T合振幅从一次极大到相邻的另一次极大所需要的时间为周期，周期的倒数为频率。拍现象可用于测量未知振动的频率两个频率都较大，但频率之差都很小的两个同方向简谐振动合成所产生的合振动振幅周期性的变化叫做拍（beat），合振幅变化的频率称为拍频（beatfrequency）。三、垂直方向同频率简谐振动的合成)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx)cos(11tAx)cos(22tAy0221222212AyAxAyAx021AyAx当=2-1=k(k为整数)时:yx1A2Ao合成后的振动为线性振动1222212AyAx合成后的振动为椭圆振动xy1A2Ao当=(2k+1)/2(k为整数)时：)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx四、两个相互垂直的不同频率的简谐振动的合成（1）当两个振动的初相位不同时（2）当两个振动的频率不同时题外话频率比不为整数时的情况？合成运动轨迹为永不闭合的曲线，也就是说合成运动为非周期运动。1.波动的产生机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播形成机械波一、波动的基本概念（1）机械波波源：作机械振动的物体弹性介质：传播振动的物质（2）电磁波变化的电场和磁场在空间的传播形成电磁波uEHxo2.波动的分类——横波和纵波介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波称横波。如柔绳上传播的波。（1）横波（transversewave）：1234567891011121314151617180t4Tt2TtTt43TtTt45横波介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波称纵波。如空气中传播的声波