第1章-质点运动学和牛顿运动定律习题解答

第1章质点运动学和牛顿运动定律习题一、选择题1、对质点的运动，有以下几种表述，正确的是[]A、在直线运动中，质点的加速度和速度的方向相同。B、在某一过程中平均速率不为零，则平均速度也不可能为零。C、在直线运动中，加速度不断减小，则速度也不断减小。D、若某质点加速度的大小和方向不变，其速度的大小和方向可不断变化。答：选D。在直线运动中，质点的加速度和速度的方向可相同，也可反向，同向时加速运动，反向时作减速运动；平均速率是路程对所用时间的比值，只要质点运动总不为零，平均速度是位移对时间的比，当起质点由起点再运动到起点时，其位移为零，平均速度也为零；加速度减小只意味着速度的增量减小，而不是速度减小；质点加速度的大小和方向不变，其速度的大小和方向可不断变化，抛体运动中的加速度为恒定的重力加速度，但其速度的大小和方向是不断变化的。2、某质点的运动方程为()m12323+−=ttx，则该质点作A、匀加速直线运动，加速度沿Ox轴正向。B、匀加速直线运动，加速度沿Ox轴负向。C、变加速直线运动，加速度沿Ox轴正向。D、变加速直线运动，加速度沿Ox轴负向。答：选D。由运动方程()m12323+−=ttx，ttxa18dd22−=＝，由于运动方程只含x，故作直线运动，由于加速度是t的函数，故为变加速运动，负号表示加速度沿Ox轴负向。3、质点沿半径为R的圆周作匀速率圆周运动，每T秒转一周，在2T时间间隔中，其平均速度大小与平均速率分别为A、TRπ2，TRπ2B、0，TRπ2C、0，0D、TRπ2，0答：选B。2T时间间隔中，质点绕圆周移动2周，位移为零，平均速度值为零；匀速率圆周运动的速率是常量，数值就是TRπ2。4、质点作圆周运动时，下列表述中正确的是A、速度方向一定指向切向，加速度方向一定指向圆心。B、法向分速度为零，所以法向加速度也一定为零。C、必有加速度，但法向加速度可以为零。D、法向加速度一定不为零。答：选D。一般情况的圆周运动为变速率圆周运动，有法向、切向两个加速度分量。其中法向加速度改变运动速度的方向，切向加速度改变运动的速率。没有切向加速度时为匀速率圆周运动，但圆周运动的速度方向一直在变化，故选D。5、关于惯性有下面四种表述，正确的为：A、物体静止或作匀速运动时才具有惯性。B、物体受力作变速运动时才具有惯性。C、物体受力作变速运动时才没有惯性。D、物体在任何情况下均有惯性。答：选D。惯性是物体的固有属性，在任何情况下均有惯性。6、下列表述中正确的是第1章质点运动学和牛顿运动定律A、质点运动的方向和它所受的合外力方向相同。B、质点的速率为零，它所受的合外力一定为零。C、质点作匀速率圆周运动，它所受的合外力必定与运动方向垂直。D、摩擦力总是阻碍物体间的相对运动，它的方向总是与物体的运动方向相反。答；选C。运动方向即速度方向，合外力方向即加速度方向，两者一般不在相同方向上。速度、速率、加速度、力等都是瞬时量，在某一瞬时，速度或速率为零，但还可以存在加速度，也即存在合外力，如质点作直线运动，受与运动方向相反的合外力作用而减速运动直至速率为零的瞬间，合外力还是存在的。匀速率圆周运动必定存在法向加速度，它由法向力提供，即与运动方向垂直。摩擦力并不一定总是与物体的运动方向相反，例如在皮带运输机上，物体受皮带的摩擦力作用运动，此时摩擦力方向与物体运动方向在相同方向上。7、质量分别是m和0m的滑块A和B，叠放在光滑水平桌面上，如图1-13所示。A和B间的静摩擦因数为sμ，动摩擦因数为μ，系统原处于静止。今有一水平力Fr作用于A上，要使A、B不发生相对滑动，则应有A、mgFsμ≤B、mgmmFs⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+≤01μC、()gmmFs0+≤μD、mgmmF⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+≤01μ答：本题需要用隔离物体法解得结果。由于要使A、B不发生相对滑动，两者的摩擦力为静摩擦力，D可先行排除。无滑动时两者具有相同的加速度ar。按隔离物体法的步骤，画如下的隔离体图及受力、运动分析并取如图的坐标系，列出两物体的牛顿第二定律分量方程。FrABFrABsFrsF′rAPrANFrANF′rBPrBNFrarxyOA物体：maFFs=−，0=−AANPFB物体：amFs0=′，0=−′−BANBNPFF摩擦力：ANssFFμ=牛顿第三定律：ssFF′=，ANANFF′=第1章质点运动学和牛顿运动定律联立各式解得，mgmmFs⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=0max1μ，选B。8、一质量为m的石块被大风刮得从崖顶落下，若大风对石块始终作用一个稳定水平力Fr，则石块下落过程中的加速度大小应为A、22⎟⎠⎞⎜⎝⎛+mFgB、mFC、gD、0答：选A。由牛顿第二定律，水平力产生的水平加速度为mFax=，垂直方向方向的加速度分量为重力加速度g，总加速度大小为2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+=mFgaaayx9、在足够长的管中装有粘滞液体，放入钢球由静止开始向下运动，下列说法中正确的是A、钢球运动越来越慢，最后静止不动。B、钢球运动越来越慢，最后达到稳定的速度。C、钢球运动越来越快，一直无限制地增加。D、钢球运动越来越快，最后达到稳定的速度。答：选D。钢球运动时受重力、浮力及粘滞力作用，重力方向向下，其余两力方向向上。重力及浮力均为恒力，粘滞力随速率的增加而增大。起先合力方向向下，钢球不断加速使粘滞力也越来越大，加速度的数值越来越小，但速度是增加的，当合力为零时加速度为零，速度处于稳定值。二、填空题1、一质点运动的加速度为jtitarrr232+=，其初始速度与初始位移均为零，则该质点的运动方程为jtitrrrr4343+=，2s时该质点的速度为()m/s842jirrr+=ϖ。解：jttitttatttrrrrr⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛==∫∫∫∫02000d3d2ddϖϖ，jtitrrr32+=ϖ，()m/s842jirrr+=ϖjtittrtttrrrrrr⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛==∫∫∫∫0000dddd32ττϖ，jtitrrrr4343+=2、一质点一初速0ϖ和抛射角0θ作斜抛运动，则到达最高处的速度大小为00cosθϖϖϖ==x，切向加速度大小为0=τa，法向加速度大小为2nm/s8.9==ga，合加速度大小为2n2n2m/s8.9===+=gaaaaτ。解：抛体运动可看成水平方向的匀速直线运动与垂直方向的匀变速运动的合成。到达最高点时只有水平速度分量，其值为00cosθϖϖϖ==x，最高点处切向为水平方向，质点在该方向不受力作用，故0=τa，法向加速度即为重力加速度2nm/s8.9==ga，合加速度大小第1章质点运动学和牛顿运动定律2n2n2m/s8.9===+=gaaaaτ。3、（2001年上半年试题）（本题4分）一质点作半径为R的圆周运动，在0=t时刻经P点。此后它的速率按BtA+=ϖ变化（A、B为正的已知常量）。求质点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度和法向加速度的大小。解：BtA+=ϖ，Bta==ddτϖ（1分），0=t时，A=0ϖ（1分）RBRasatππττ4222202=⋅==−ϖϖ，RBAsatπτ422202+=+=ϖϖ（1分）BRARatπ422n+==ϖ（1分）4、一质点从静止出发沿半径为3m的圆周运动，切向加速度大小为2m/s3并保持不变，则经过s1==τatϖ后它的总加速度恰好与半径成°45角。在此时间内质点经过的路程为m5.121212200==++=tatatssττϖ，角位移为rad5.035.1===ΔRsθ，在1s末总加速度大小为222m/s23=+=naaaτ。解：32n===τaRaϖ，m/s3=ϖ，tataττ=+=0ϖϖ，s1==τatϖm5.121212200==++=tatatssττϖ，rad5.035.1===ΔRsθ222m/s23=+=naaaτ5、一根轻弹簧的两端分别固连着质量相等的两个物体A和B，用轻线将它们悬挂起来，在将线烧断的瞬间，物体A的加速度大小是2m/s，物体B的加速度大小是2m/s。gmrABABgmrkx−kxxgmrABgmrkx−kxTF烧断前烧断后解：设物体的质量为m。静止时，两物体的牛顿第二定律方程为A：0=−+TFkxmgB：0=−kxmg解得mgkx=线烧断的瞬间，弹簧长度未变，两物体的牛顿第二定律方程为A：Amakxmg=+B：Bmakxmg=−第1章质点运动学和牛顿运动定律解得gaA2=0=Ba6、A、B两物体质量均为m，用质量不计的定滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A获得的加速度大小为，B获得的加速度大小为。AarBargmrgmrTFrTFr2x解：滑轮及绳子质量不计时，滑轮两侧绳子的张力相等。由图可知，B物体的位移是A物体位移的两倍，故BAaa=2。定滑轮两侧绳子的张力是动滑轮两侧绳子张力的2倍。两物体的隔离体图及它们的受力、运动分析如图，在如图的坐标系中，两物体的牛顿第二定律方程为ATmaFmg−=−2，BTmaFmg=−式中各量正负号的确定是依据它们与取定的坐标轴的同向、反向而定的。此外还有两者的约束关系BAaa=2联立各式，解得gaA51=，gaB52=。7、一个圆锥摆摆线长度为l，摆线与竖直方向的夹角θ。则摆锤转动的周期为。θlRxygmrOTFrm解：由牛顿第二定律，摆锤在图中坐标系中沿x、y方向的分量方程为θθsinsin22lmRmFTϖϖ==，0cos=−mgFTθθθsintan2glϖ=，θθθθcossinsintanglgl==ϖ，glgllRTθπθθθππcos2cossinsin22===ϖ8、一细线一端系着质量为m的小球，另一端固定于O点，小球可在竖直平面中摆动，将小球拉至水平位置后自由释放，当球摆到与铅直线成θ角的位置时，小球的切向加速度大小为；法向加速度大小为。第1章质点运动学和牛顿运动定律θgmrOθθTFrϕ解：重力的切向分力提供切向加速度τsinmamg=θ，θτsinga=重力的法向分力与绳子张力共同提供法向加速度，但1TF是变力，无法直接由牛顿第二定律的法向分量式求得。由角量与线量的关系有ϕθϕωωϕϕωωατcossinddddddddggltltlla===⋅===分离变量ϕϕωωdcosdlg=两边积分∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=θπωϕϕωω200dcosdlg得θθπωcos2sin212lglg=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=或θωcos22lg=解得θωcos22ngla==本题如结合机械能守恒方法求解，过程将简单得多。三、计算题1、一质点在xy平面内运动，运动方程为tx3=，322+=ty，式中t以s计，x，y以m计。求：（1）s2=t时的位矢、速度和加速度；（2）在s1=t和s2=t这段时间内，质点位移的大小和方向；（3）在s1=t和s2=t这段时间内，质点的平均速度；（4）质点的轨迹方程。解：质点矢量形式的运动方程为()jtitrrrr3232++=。（1）s2=t时的位矢为()()()m116322232jijirrrrrr+=+×+×=质点的速度表达式为jtitrrrrr43dd+==ϖ，s2=t时的速度为()()m/s832jirrr+=ϖ质点的加速度表达式为()2m/s4ddjtarrr==ϖ，质点作匀加速运动。s2=t时的加速度为()2m/s2=αr（2）在s1=t和s2=t这段时间内，质点位移为第1章质点运动学和牛顿运动定律()()()()()[]()()m633123221323221212jijijyyixxrrrrrrrr+=+×−+×+×−×=−+−=Δ位移的大小为()m71.66322=+=Δrr与x轴的夹角°==ΔΔ=4.6336arctanarctanxyθ（3）在s1=t和s2=t这段时间内，质点的平均速度()m/s631263jijitrrrrrrr+=−+=ΔΔ=ϖ（4）将参量方程tx3=，322+=ty中的t消去，得轨迹方程为3922+=xy2、一质点沿x轴运动，加速度ta2−=，0=t时m30=x，m/s10=ϖ。（1）t时刻质点的速度和位置；（2）速度为零时质点的位置和加速度；（3）