高考总复习万有引力与航天

(对应学生用书P71)一、万有引力定律及其应用(Ⅱ)1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．2．公式：F＝Gm1m2r2，其中G＝6.67×10－11_N·m2/kg2，叫引力常量．3．公式适用条件：此公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离．问题探究1如何理解万有引力定律中的“r”及“F”？[提示](1)对万有引力定律公式中各量的意义一定要准确理解，尤其是距离r的取值，一定要搞清它是两质点之间的距离.质量分布均匀的球体间的相互作用力，用万有引力公式计算，式中的r是两个球体球心间的距离．(2)不能将公式中r作纯数学处理而违背物理事实，如认为r→0时，引力F→∞，这是错误的，因为当物体间的距离r→0时，物体不可以视为质点，所以公式F＝Gm1m2r2就不能直接应用计算．(3)物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是大小相等、方向相反的，遵循牛顿第三定律，因此谈不上质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力，更谈不上相互作用的一对物体间的引力是一对平衡力．二、环绕速度(Ⅱ)1．第一宇宙速度又叫环绕速度．推导过程为：由mg＝mv2/R＝GMm/R2得：v＝GMR＝Rg＝7.9km/s2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．问题探究2不同星球的第一宇宙速度由什么决定？[提示]由第一宇宙速度的两种表达式可以看出：第一宇宙速度由中心天体决定，具体来说由中心天体的质量和半径或由天体表面的重力加速度和天体的半径决定．三、第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ)1．第二宇宙速度：v2＝11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．2．第三宇宙速度：v3＝16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．问题探究3如果人造卫星的发射速度为11.2km/sv16.7km/s，则人造卫星将做什么运动？[提示]人造卫星将围绕太阳做椭圆运动．四、经典时空观和相对论时空观(Ⅰ)1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m＝m01－v2c2.(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．问题探究4在日常生活中，我们为什么没有发现物体的质量随物体运动状态的变化而变化？[提示]通常情况下我们在日常生活中所观察到的物体的速度v≪c，所以质量随速度的变化非常微小．对应学生用书P71)要点一万有引力与重力的关系1.处于地球表面上的物体要受到地球的万有引力，其方向指向地心.这一引力会产生两种效果，其一是使物体压紧地面，这就是重力，大小等于地面对物体的支持力FN＝mg.方向跟支持力方向相反，垂直该处的水平面竖直向下；其二是为物体随地球自转提供向心力F向＝mω2自r，从合力与分力的关系来看，重力mg和向心力F向是万有引力的两个效果力，即分力.若从力产生的原因(力的性质)来分析地面上物体的受力情况，则物体只受到万有引力和地面的支持力，不能同时再分析上重力．(1)地面上的物体的重力随纬度的增大而增大，故重力加速度g从赤道到两极逐渐增大．①在两极：重力等于万有引力，重力加速度最大．②在赤道：F万＝F向＋mg，故mg＝GMmR2－mRω2.(2)由于地球的自转角速度很小，地球的自转带来的影响很小，一般情况下认为：GMmR2＝mg，故GM＝gR2，这是万有引力定律应用中经常用到的“黄金代换”．2．重力随离地面高度的变化而变化当物体在高空中可忽略地球自转的作用时，重力跟万有引力相等，在地面上，mg＝GMmR2，在h高度处mg′＝GMmR＋h2，所以g′＝(RR＋h)2g，随高度的增加，重力加速度减小，在计算时，这个因素不能忽略．美国航空航天局在2009年6月发射了“月球勘测轨道器”(LRO)，LRO每天在50km的高度穿越月球两极上空10次．若以T表示LRO在离月球表面高度h处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R表示月球的半径，则()A．LRO运行时的向心加速度为4π2RT2B．LRO运行时的向心加速度为4π2R＋hT2C．月球表面的重力加速度为4π2RT2D．月球表面的重力加速度为4π2R＋h3T2R2[答案]BD[解析]LRO运行时的向心加速度为a＝ω2r＝(2πT)2(R＋h)，B正确；根据Gm月mR＋h2＝m(2πT)2(R＋h)，又Gm月m′R2＝m′g，两式联立得g＝4π2R＋h3T2R2，D正确．要点二万有引力定律在天体(卫星)的运行上的应用通常处理天体运动时，往往认为天体绕另一个中心天体做匀速圆周运动，运用万有引力定律解天体问题实际上就是运用牛顿第二定律解圆周运动，归属于圆周运动的动力学问题，只不过这里由万有引力来提供向心力.应用万有引力定律解决天体(包括自然天体和人造天体)的有关问题，主要基于两个等量关系：(1)万有引力等于重力GMmR2＝mg(2)万有引力提供向心力GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r具体问题中提供向心力的万有引力是用GMmr2还是用mg表示，要看具体问题中是否涉及了重力加速度g，若涉及重力加速度g，则用mg＝mv2r＝mω2r列式，若没有涉及g，则用GMmr2＝mv2r＝mω2r的列式．(2011·天津理综)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的()A．线速度v＝GMRB．角速度ω＝gRC．运行周期T＝2πRgD．向心加速度a＝GmR2[答案]AC[解析]本题考查万有引力定律与航天，意在考查考生通过万有引力定律和牛顿第二定律解决天体运动问题的能力．由万有引力提供向心力可得GMmR2＝ma＝mv2R＝mω2R＝m4π2T2R，再结合忽略自转后GMmR2＝mg，在解得相关物理量后可判断AC正确．要点三对三种宇宙速度的理解第一宇宙速度是卫星在星球表面附近做匀速圆周运动时必须具有的线速度，是所有围绕星球做圆周运动的卫星所具有的最大的线速度．理解第一宇宙速度，要抓住两个要点：一是“在星球表面附近”，卫星的轨道半径r与星球的半径R相等；二是“匀速圆周运动”，卫星所受的向心力由万有引力提供，即GMmR2＝mv21r，故v1＝GMR，又由于星球表面万有引力约等于重力，即GMmR2＝mg，故v1＝gR.地球的第一宇宙速度约为v1＝7.9km/s，月球的第一宇宙速度约为1.8km/s.地球的第一宇宙速度约为v1＝7.9km/s，月球的第一宇宙速度约为1.8km/s.第一宇宙速度也可以通过匀速圆周运动的最小速度来快速求取，若已知某星球的重力加速度g′，则卫星在该星球表面附近做匀速圆周运动的向心加速度也为g′，由向心加速度公式g′＝v21R，得v1＝g′R.第二宇宙速度是指在星球表面附近发射飞行器，使其克服该星球的引力永远离开该星球所需的最小速度，也是能绕该星球做椭圆运动的卫星在近地点的最大速度．地球的第二宇宙速度v2＝11.2km/s.第三宇宙速度是指在星球表面附近发射飞行器，能够使其挣脱太阳引力的束缚飞到太阳系外的最小速度．地球的第三宇宙速度v3＝16.7km/s.三种宇宙速度的对比以地球为例，三种宇宙速度和相应轨道间的关系如图所示．当卫星在地面附近做圆周运动时，其运行速度即为第一宇宙速度7.9km/s；当卫星到达地面附近时，其速度介于7.9～11.2km/s之间，则卫星沿椭圆轨道绕地球运动；当卫星到达地面附近时，其速度介于11.2～16.7km/s之间，则卫星沿椭圆轨道飞离地球，成为绕太阳运动的卫星；当卫星到达地面附近时，其速度超过16.7km/s，则卫星能飞出太阳系成为太阳系外的卫星．三种宇宙速度是指卫星发射的速度，而不是在轨道上的运行速度．(2011·菏泽统测)“嫦娥二号”卫星已成功发射，这次发射后卫星直接进入近地点高度200公里、远地点高度约38万公里的地月转移轨道直接奔月，当卫星到达月球附近的特定位置时，卫星就必须“急刹车”，也就是近月制动，以确保卫星既能被月球准确捕获，又不会撞上月球，并由此进入近月点100公里、周期12小时的椭圆轨道a.再经过两次轨道调整，进入100公里的近月圆轨道b，轨道a和b相切于P点，如图所示，下列说法正确的是()A．“嫦娥二号”卫星的发射速度大于7.9km/s，小于11.2km/sB．“嫦娥二号”卫星的发射速度大于11.2km/sC．“嫦娥二号”卫星在轨道a、b上经过P点的速度va＝vbD．“嫦娥二号”卫星在轨道a、b上经过P点的加速度分别为aa、ab，则aa＝ab[答案]AD[解析]由卫星发射条件可知，地球卫星发射速度要大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，A正确，B错误；卫星在P点从圆周轨道b上到椭圆轨道a上需要加速，因此vavb，C错误；卫星在运动过程中是万有引力在提供向心力，因此向心加速度a＝GMr2，aa＝ab，D正确．要点四同步卫星、近地卫星及赤道上物体的区别1.同步卫星“同步”的含义是它绕地心匀速圆周运动的角速度跟地球自转的角速度相同，且圆轨道平面跟赤道平面重合，即静止在赤道正上方.万有引力为它提供向心力，其向心加速度等于轨道处的重力加速度，比地面处的重力加速度小的多，运行周期T＝24小时．2．近地卫星可看做绕地球表面运行的卫星．近地卫星由于离开了地球，它只受到一个万有引力的作用，万有引力全部充当向心力，其向心加速度近似等于地面上的重力加速度，即a＝g.近地卫星的线速度为第一宇宙速度7.9km/s，远大于地面赤道上物体的速度．其运行周期可由方程GMmR2＝m4π2T2R求出，T＝84min，远小于地球同步卫星的周期．3．放在赤道上的物体随地球自转时受到两个力的作用，一个是万有引力，另一个是地面对物体的支持力，其合力提供了物体做圆周运动的向心力，即GMmR2－FN＝mω2R.(FN＝mg)．由于物体的向心加速度远小于地面的重力加速度，因此在近似计算中常忽略地球自转影响，而认为物体的重力与物体受到的万有引力相等(这在前面已经提到过)．但在研究它随地球的自转而做匀速圆周运动时，应另当别论，此时它的周期及轨道半径分别等于地球自转周期24小时及地球半径．通过以上讨论可以看出，放在赤道上的物体与近地卫星有着显著的区别.首先两者的受力不同，前者受到的万有引力只有一小部分充当向心力，绝大多数作为重力使得物体紧压地面；而后者受到的万有引力全部充当向心力，它们的运动周期和速度也不同，并且有很大的差异．赤道上的物体相对地球保持静止，而近地卫星相对于地球而言处于高速旋转状态.而同步卫星和近地卫星都只受万有引力，全部提供向心力，研究方法相同．(2011·沈阳、长春、哈尔滨联考)我国发射的“北斗系列”卫星中同步卫星到地心距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；在地球赤道上的观测站的向心加速度为a2，近地卫星做圆周运动的速率为v2，向心加速度为a3，地球的半径为R，则下列比值正确的是()A.a1a2＝rRB.a2a3＝R3r3C.v1v2＝rRD.a1a2＝R2r2[答案]AB[解析]由于在地球赤道上的观测站的运动和同步卫星的运动具有相同的角速度，根据a＝Rω2可知a1a2＝rR，A正确，再根据近地卫星做圆周运动的向心加速度为a3，由万有引力定律和牛顿第二定律F＝GMmr2＝ma可知a1a3＝R2r2，由a1a3＝R2r2，a1a2＝rR知a2a3＝R3r3，因此B正确．(对应学生用书P73)题型一测量中心天体