幂级数经典课件

幂级数主要内容：1.函数项级数。2.幂级数及其收敛性。3.幂级数的运算。4.函数展开为幂级数。一、函数项级数在前面，我们曾讨论过公比为q的无穷等比级数：),0(11无关的常数且与naaqnn当|q|1时，级数是收敛的，其和为，qa1)11(12qaqaqaqaqan即因此我们也可以把q看作(-1，1)内变化的一个自变量，用x代替它，即可得到:由于上式对区间(-1，1)内的每一个q值都成立，)11(12xaxaxaxaxan它的每一项都是以x为自变量的函数。则称点x0为函数项级数(8-3)的一个收敛点；收敛点的全体构成的集合，一般地，由定义在同一区间内的函数序列构成的无穷级数：u1(x)+u2(x)+···+un(x)+···(8-3)称为函数项级数，记为。)(1xunn在函数项级数(8-3)中,若令x取定义域中某一确定值x0，则得到一个数项级数u1(x0)+u2(x0)+···+un(x0)+···称为函数项级数的收敛域。若该数项级数收敛，反之，则称点x0为函数项级数(8-3)的发散点。且称之为函数项级数的部分和函数，若x0是收敛域内的一个值，则必有一个和S(x0)与之对应，即S(x0)=u1(x0)+u2(x0)+···+un(x0)+···这个函数S(x)就称为函数项级数的和函数。当x0在收敛域内变化时，上述级数的和S(x0)也随之变化，就得到一个定义在收敛域上的函数S(x)，即S(x)=u1(x)+u2(x)+···+un(x)+···那么在函数项级数的收敛域内有)()(limxSxSnn将函数项级数的前n项和记为Sn(x)，即Sn(x)=u1(x)+u2(x)+···+un(x)二、幂级数及其收敛性0)(nnnaxa和=a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+···+an(x-a)n+···(8-5)一般地，0nnnxa形如=a0+a1x+a2x2+···+anxn+···(8-4)的级数称为幂级数。其中an(n=0,1,2,···)和a都是常数，an称为幂级数的系数。对于级数(8-5)，只要令x-a=t,就可化为(8-4)的形式,因此下面我们主要讨论级数(8-4)。所以区间(-1,1)就是该幂级数的收敛域。或者说幂级数(8-4)在点x0处收敛；对于幂级数(8-4)，它的每一项在区间(-∞,+∞)内都有定义，因此对于每个给定的实数值x0，将其代入(8-4)式，就得到一个数项级数:)68(020201000nnnnnxaxaxaaxa如果(8-6)收敛，则称点x0为幂级数(8-4)的收敛点，如果(8-6)发散，则称点x0为幂级数(8-4)的发散点，或者说幂级数(8-4)在点x0处发散。所有收敛点的集合称为幂级数的收敛域，所有发散点的集合称为幂级数的发散域。例如幂级数，0nnax当x在区间(-1,1)内取任一个值x0时，级数都收敛，0nnax其和为。xa1而(-∞,-1)及(1,+∞)就是该幂级数的发散域。则称幂级数为不缺项，设幂级数中an≠0(n=0,1,2,…)，0nnax否则称为缺项幂级数。在级数(8-4)中，设，||nnnxau用比值判别法，得nnnnnnnnnnnnnnaaxxaaxaxauu11111lim||||limlimlim存在，若lim1nnnaa则(3)当ρ=0，即ρ|x|=0时，级数(8-4)对任何x值收敛。(1)当ρ|x|1，即时，级数(8-4)收敛；)0(1||x(2)当ρ|x|1，即时，级数(8-4)发散；)0(1||x因此，令，即，就得到下面定理:R11limnnnaaR在x=±R处，可能收敛也可能发散(此时ρ=1)，而当|x|R时幂级数发散；定理,Rlim1nnnaa且则有：(1)如果0R+∞,则当|x|R时幂级数收敛，(2)如果R=+∞，则幂级数在(-∞，+∞)内收敛；(3)如果R=0，则幂级数仅在x=0处收敛。由定理知：0nnnxa设幂级数是不缺项的，幂级数在的收敛域是以坐标原点为中点，长度为2R的区间(特殊情况可能是整个数轴，也可能只是坐标原点)。0nnnxa它在(-R，R)内收敛；在(-R，R)外发散；通常称R为幂级数的收敛半径，0nnnxa区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间。例1求幂级数的收敛半径。!!212nxxxn解：收敛半径：)1(lim)!1(1!1limlim1nnnaaRnnnnn即级数收敛半径R=+∞，0!nnnx幂级数在(-∞,+∞)内收敛。例2求幂级数1+2x+(3x)2+···+(nx)n-1+···的收敛半径。解:收敛半径:0011)11(1lim)1(limlim11ennnnaaRnnnnnnnn即级数仅在x=0处收敛。11)(nnnx例3求幂级数的收敛区间。nxxxxxnn)1(432432解:收敛半径:11limlim1nnaaRnnnn当|x|1时，级数收敛；1)1(nnnnx当|x|1时，级数发散。1)1(nnnnx当x=1和x=-1时，级数分别为和11)1(nnn11nn前者收敛，后者发散。所以幂级数的收敛区间为(-1，1]。1)1(nnnnx例4求幂级数的收敛区间。12)2()1(nnnnx解:令x-2=t，得,2)1(1nnnnt221)1(21)1(lim11nnnnnR所以-2t2,即-2x-22,得0x4。当x=0得，它是发散的;11n当x=4时，得，也发散。1)1(nn所以幂级数收敛域为(0,4)。12)2()1(nnnnx解:例5请求幂级数的收敛区间。1212)1(nnnnx22)1(2112)1(1)1(2)1(limxnxnxnnnnn当ρ1，即x21时，级数收敛，即|x|1时，所求幂级数绝对收敛；当x=±1时，代入级数得，级数收敛；112)1(nnn所以幂级数的收敛区间为[-1，1]。1212)1(nnnnx三、幂级数的运算设幂级数与的收敛半径分别为R1与R2(R1与R2与均不为零)，0nnnxa0nnnxb它们的和函数分别为S1(x)与S2(x)，记R=min(R1，R2)，那么对于幂级数可进行以下运算：1．加法和减法±==S1(x)±S2(x)0nnnxa0nnnxb0)(nnnnxba此时所得幂级数的收敛半径是R。0)(nnnnxba2．乘法=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+···+(a0bn+a1bn-1+···+anb0)xn+···=S1(x)·S2(x)00nnnnnnxbxa此时所得幂级数的收敛半径是R。则和函数S(x)在(－R，R)内可积，则在(－R，R)内和函数S(x)可导，3．逐项求导数若幂级数的收敛半径为R，0nnnxa且有0100)()()(nnnnnnnnnnxaxaxaxS所得幂级数的收敛半径仍为R，但在收敛区间端点处的收敛性可能改变。4．逐项积分设幂级数的和函数S(x)收敛半径为R，0nnnxa且有0100n00n01)(nnnnxnxnnxxnadxxadxxadxxS所得幂级数的收敛半径仍为R，但在收敛区间端点处的收敛性可能改变。例6讨论幂级数逐项求积分所得幂级数的收敛区间。0nnx解：nnnxxxx201幂级数收敛半径R=1，逐项求积分后得132113201nxxxxnxnnn它的收敛半径仍为R=1。当x=-1时，幂级数为交错级数,11)1(01nnn是收敛的。当x=1时，幂级数为调和级数，它是发散的。故幂级数的收敛区间为[-1,1)。0nnx例7求幂级数的和函数。0)1(nnxn解：所给幂级数的收敛半径R=1，收敛区间为(-1,1)。注意到,)()1(1nnxxn而01010)()1(nnnnnnxxxn在收敛区间(-1,1)内，,10n1xxxn幂级数所以010)1(nnnnxxnxx12)1(1x(8-7)式称为f(x)的x的幂级数展开式。因此，把一个函数表示为幂级数，而且在它的收敛区间内还可以像多项式一样地进行运算，四、函数展开为幂级数对于研究函数有着重要的意义。我们看到，幂级数不仅形式简单，对于一个给定的函数f(x),如果能找到一个幂级数，0nnnxa使(-RxR)(8-7)成立，nnnnnxaxaxaaxaxf22100)(那么，我们就说函数f(x)可以展开为x的幂级数，在这里，有两个问题需要我们去解决：(1)在式(8-7)中，系数a0,a1,a2,···,an,···如何确定？(2)f(x)满足什么条件才能展开为x的幂级数？先解决问题(1):不妨假设(8-7)式成立，那么根据幂级数的逐项求导法，对式(8-7)依次求出各阶导数：1232132)(nnxnaxaxaaxf232)1(232)(nnxannxaaxf……………221)(2)!2()!1(!)(xanxananxfnnnn把x=0代入式(8-7)及上列的各等式，得a0=f(0),,!1)0(1fa,!2)0(2fa···,,!)0()(nfann···把它们代入式(8-7),得)88()(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2RxRxnfxfxffxfnn那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数。通常称式(8-8)为f(x)的幂级数展开式，但要注意，按上述形式作出的麦克劳林级数，在收敛区间内是否一定收敛于函数本身呢？因此，还要解决问题(2)，研究f(x)满足什么条件才能展开为x的幂级数，或着说麦克劳林级数满足什么条件才能收敛于f(x)。在(-R,R)内，只要考察余项]!)0(!2)0(!1)0()0([)()()(2nnnxnfxfxffxfxR是否随n的无限增大而趋于零。!)0(!2)0(!1)0()0()()(2nnxnfxfxffxf要使成立，当f(x)在(-R，R)内有任意阶导数时，1)1()!1()()(nnnxnfxR可以证明，(其中ξ在0和x之间；n=1,2,···)综上所述可得：如果f(x)在包含点x=0的某一区间(-R,R)内有任意阶导数，0)!1()(lim)(lim1)1(nnnnnxnfxR(ξ在0和x之间；-RxR)(7-9)且那么f(x)在区间(R，R)内可以展开为麦克劳林级数。函数展开为麦克劳林级数的一般步骤为：1.求出f(x)的各阶导数；)(,),(),()(xfxfxfn2.计算f(0),；!)0(,,!2)0(,!1)0()(nfffn3.写出f(x)的麦克劳林级数nnxnfxfxff!)0(!2)0(!1)0()0()(24.求出上述级数的收敛区间(-R，R)；5.在收敛区间内考察是否为零，)(limxRnn若为零，!)0(!2)0(!1)0()0()()(2nnxnfxfxffxf则有：否则即使求出的麦克劳林级数收敛，其和函数也不一定为f(x)。例8求指数函数f(x)