经典高等数学课件D12-4函数展开成幂级数

1复习：1.和函数的分析运算性质:定理4.若幂级数的收敛半径()Sx则其和函数在收敛域上连续；且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同，即00limnnxxnax即0lim()xxSx0()Sx00lim()nnxxnax，0x收敛域()Sx11nnnnax，(,)xRR0()dxSxx101nnnaxn，(,)xRR0()nnnax0()nnnax00()dxnnnaxx00()dxnnnaxx22.求幂级数的和函数的方法及步骤：2.求幂级数的和函数的方法及步骤：•求部分和式的极限;•逐项求导或求积分法•初等变换法:分解、变量代换后套用公式;（在收敛区间内）.1)求所给幂级数的收敛域.2)将所给幂级数转化为已知和函数的新级数.转化方法：逐项积分、逐项求导、四则运算，恒等变形及变量代换等.幂级数已知和函数的新级数转化33.需要熟记的幂级数有：011),1nnxx(1,1)x012)(1),1nnnxx(1,1)x00()(0)()d()(()d)xxfxffxxfxfxx110()d1nnnxnnxxxxxn10(1)3)ln(1),(1,1]1nnnxxxn4第四节函数展开成幂级数一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数第十二章幂级数中的两类问题:和函数求和展开)(xf0nnnax？问:1.如果能展开,是什么?na2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?x收敛域5一、泰勒(Taylor)级数0()()fxfx00()()fxxx200()()2!fxxx()00()()!nnfxxxn()nRx其中()nRx(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.(1)10()()(1)!nnfxxn则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:1.回忆泰勒中值定理()()()nnfxPxRx即6()20000000()()()()()()()2!!nnfxfxfxfxxxxxxxn为f(x)的泰勒级数.则称1)这样构造的级数,其收敛域是什么?2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?亟待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,2.泰勒级数定义:当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.0)(!)0(nnnxnf()000()()!nnnfxxxn即)(xf泰勒级数是否收敛于f(x)?不一定.()000()()!nnnfxxxn？200000()()()()()()2!fxfxfxfxxxxx()00()()()!nnnfxxxRxn(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn(在x与x0之间)7定理1：各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:lim()0.nnRx证明:()000()()(),!nnnfxfxxxn1()()()nnfxSxRxlim()nnRx1lim()()nnfxSx0,0()xx()0100()()()!knknkfxSxxxk0()xx设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有3.泰勒级数的收敛定理:1lim()()nnSxfx即()0lim()0.(0)()!nnnnnffxnRxx同理：(泰勒公式)()()()nnfxPxRx?8定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是惟一的,且证:设f(x)所展成的幂级数为2012(),0)(nnfxaaxaxaxx则112()2;nnfxaaxnax1(0)af22()2!(1);nnfxannax21(0)2af！()()!;nnfxna()1(0)nnafn！显然结论成立.0(0)af()1(0)(0,1,2,)!nnafnn，，4.系数的惟一性定理:9说明：001)()()nnnfxaxx用可构造，()00,1,2,1()()!nnafxnn其中，3)幂级数的展开式是唯一的.()000()2()()lim()0!nnnnnfxfxxxRxn），()0(0)()lim()0.!nnnnnffxxRxn110(1)(1)()22nnnnnnnfxxa若()1(0)(1)!2nnnfn1()(1)!(0).2nnnnf10二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,()fx函数展开成幂级数的步骤如下：第一步第三步判别在收敛区间(－R,R)内lim()nnRx是否为0.()()00()(),(1,2,3,);!nnnfxfxann并写出求第二步写出泰勒级数()000()()!nnnfxxxnlim()0nnRx若，()000()()().!nnnfxfxxxn则并求出其收敛半径R;11(1)()nf1limnnnaRa)1.(xfxex将函数展开成例的幂级数.解:()(),nxfxe()(0)1(0,1,),nfn()(0)!nnfan故得级数1x212!x313!x1!nxn01!nnxn:其收敛半径为limnR1!n1(1)!n,1lim0(1)!nnxn，对任何有限数x,其余项满足()nRx(1)!ne1nxxe1,(1)!nxn(在0与x之间)lim()0.nnRx01,(,)!xnnexxn()0(0)!nnnfxn1!n12()sin2.fxxx将函数展开成例的幂级数.解:()0(0)!nnnfxn()()nfx2sin()xn()(0)nf2nk0,21nk(1),k(0,1,2,)k得级数:3521111(1)3!5!(21)!nnxxxxn其收敛半径为,R对任何有限数x,其余项满足()nRx(1)!n2sin[(1)]n1nx1(1)!nxnn0,(,)xsinx3521111(1)3!5!(21)!nnxxxxn2101(21)!sin(1),(,)nnnnxxx13(,)x3521111(2)sin(1)3!5!(21)!nnxxxxxn23111(1)1,2!3!!xnexxxxn(,)x01,(,)!xnnexxn2101(21)!sin(1),(,)nnnnxxx242111(3)cos1(1)2!4!(2)!nnxxxxn(,)x201(2)!cos(1),(,)nnnnxxx14014),(,)!xnnexxn2101(21)!5)sin(1),(,)nnnnxxx201(2)!6)cos(1),(,)nnnnxxx需要熟记的公式011),1nnxx(1,1)x012)(1),1nnnxx(1,1)x10(1)3)ln(1),(1,1]1nnnxxxn152.间接展开法函数已知展开式的新函数转化利用函数的幂级数展开式的唯一性,借助一些已知的幂级数展开式,通过幂级数的运算性质(如四则运算,逐项积分,逐项求导,恒等变形,变量代换等)成幂级数,这种方法称为幂级数展开的间接展开法.这一方法的优点:()(1)()(0,1,2);nfxn回避的计算(2)()0.nRx回避讨论的极限是否是将函数展开16例1.将函数展开成x的幂级数.解:把x换成2x20(1)nnnx(11).x,得01(1)1nnnxx(1,1)x解：01,(,)!xnnexxn例2.xexf2)(将展开成x的幂级数.将－2x代入上式中x的位置，即得),(,)2(!102xxnennx17思考：xexxf25)(将展开成x的幂级数.nnxxnxex)2(!10525，50)2(!1nnnxn),(x()2xfx将展开成x的幂级数.ln2()xfxe01()(ln2),(,)!nnfxxxn0(ln2)(),(,)!nnnfxxxn01,(,)!xnnexxn223sin2sin?2xxxxeeexx你能把，，,，展成的幂级数吗18例3.将展成解:sinsin()44xxsincos()cossin()4444xx1cos()sin()442xx的幂级数.201(2)!(1)()4nnnnx2101(21)!(1)()4nnnnx231111()()()42!43!42xxx2101(21)!sin(1),(,)nnnnxxx201(2)!cos(1),(,)nnnnxxx19例4.处展开成泰勒级数在将141)(xxxxf解：).1()1()(nfx并求的幂级数展开成)1(3141xx)311(31xnnx)31(31031xxxxx41)1(411103)1(nnnx31x!)1()(nfn于是.3!)1()(nnnf故,31n013)1(nnnxnnx31)1(的系数为20解：)3)(2(1)(xxxf，xx31210(1,1)11nnxxx，1211122xx，0)2(21nnx)2,2(x例5.651)(2xxxf将展开成x的幂级数.3113131xx，0)3(31nnx)3,3(x)1,1(2x)1,1(3x()fx0)2(21nnx01()33nnx(2,2)x11011().23nnnnx2121()(1)463.fxxxx将函数展开成例的幂级数.解：1()(1)(3)fxxx112(1)2(3)xx112[2(1)]2[4(1)]xx11,114[1]8(1)24xx01(1),11,1nnnttt011(1)()42nnnx111,2x011(1)()84nnnx111,4x223011(1)()(1),22nnnnnx13.xP283例522()ln(2)7.fxxx将成例展的幂级数.解:()ln[2(2)]fxx(2)ln2[1]2x2ln2ln(1)2x10(1)22ln2()11.122nnnxxn，10ln(1)(1)11.1nnnxxxn，110(1)1ln2(2)04.12nnnnxxn，23例8.解:20(1),nnnx(1,1)x200(1)dxnnnxx210(1)21nnnxnx＝±1时,此级数条件收敛,(0),4f210