北师大版高中一年级数学必修1全套复习资料(识点总结)

第一讲集合1．设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P★Q={（},|),QbPaba则P★Q中元素的个数为个2．设集合062mxxxM，则满足MM6,3,2,1的m的取值范围是3．已知集合ZnnxxA,6sin，则A的非空真子集个数有个奎屯王新敞新疆4．设集合}4|||{xxA，}034|{2xxxB，则集合{Axx|且BAx}=。5．设集合}2|||{axxA，}1212|{xxxB，且BA，则实数a的取值范围是。6．函数nyx的x、n都属地集合{1,2,3,4,9}且xn，若以所有的函数值为元素作为集合M，则M中元素的个数为。7.已知集合|1Axx，|Bxxa，且ABR，则实数a的取值范围是。8.若{Unn是小于9的正整数}，{AnUn是奇数}，{BnUn是3的倍数}，则()UABð．9.若3AxRx，21xBxR，则AB．10.已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，则实数a的取值范围11.设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果1kA且1kA，那么k是A的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.12．已知集合A＝{|(2)[(31)]0}xxxa，B＝22{|0}(1)xaxxa．⑴当a＝2时，求AB；⑵求使BA的实数a的取值范围．13.}019|{22aaxxxA}065|{2xxxB,}082|{2xxxC（1）BABA，求a的值；（2）BA，且CA，求a的值；（3）CABA，求a的值；14.}034|{2xxxA,}01|{2aaxxxB,}01|{2mxxxC，且ABA，CCA，求a，m的值.第二讲求值域十二法⑴．观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例1：求函数11,1yxxx≥的值域。⑵．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。例2：求函数2xy，2,2x的值域。⑶．判别式法：通过二次方程的判别式求值域的方法。例3：求函数22122xyxx的值域。⑷．反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。例4：求函数2332xyx的值域。⑸．换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式来求值域的方法。例5：求函数12yxx的值域。⑹．复合函数法：对函数(),()yfuugx，先求()ugx的值域充当()yfu的定义域，从而求出()yfu的值域的方法。例6：求函数212log(253)yxx的值域。⑺．利用基本不等式求值域：例7：求函数1yxx的值域。⑻．利用函数的单调性：例8：求函数11yxx的值域。⑼．利用三角函数的有解性：例9：求函数2cos13cos2xyx的值域。⑽．图象法：如果可能做出函数的图象，可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此方法）。例10：求函数31yxx的值域。⑾．配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。例11：求函数22yxx的值域。⑿．构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。第三讲函数的单调性和奇偶性[例1]如果函数2)1(2)(2xaxxf在]4,(上是减函数，求a的取值范围。[例2]判断函数axxf3)(（Ra）在R上的单调性例4]求函数xxy1的单调区间[例5]判断下列函数是否具有奇偶性（1）2)1(3)1()(23xxxf（2）32)(xxf（3）11)(xxxf（4）2211)(xxxf（5）xxxxf11)1()([例6]函数)(xf在),(上为奇函数，且当]0,(x时，)1()(xxxf，则当),0(x时，求)(xf的解析式。[例7]设)(xf为奇函数，且在定义域)1,1(上为减函数，求满足0)1()1(2afaf的实数a的取值范围。[例8]设)(xf是定义在),0(上的增函数，1)2(f且)()()(yfxfxyf，求满足不等式2)3()(xfxf的x的取值范围。第四讲指数函数例1求函数y＝(12)x2－2x的单调增区间和单调减区间．解：令y＝f(x)＝(12)x2－2x，则函数f(x)可以看作函数y＝(12)t与函数t＝x2－2x的复合函数．因为y＝(12)t在(－∞，＋∞)上是减函数，函数t＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上单调增函数，所以函数f(x)＝(12)x2－2x的单调增区间是(－∞，1]；单调减区间是[1，＋∞)．注：(1)利用复合函数的方法确定函数单调性的关键是弄清已知函数是由哪几个基本函数的复合而成的．(2)复合函数单调性的判定的结论：同增异减．当然这一结论解决填空题或选择题时，直接使用，如果是解答题，必需使用函数单调性的定义进行证明．(3)本题可进一步研究：函数f(x)＝(12)x2－2x的值域如何求？由上面的结论可知：t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以0＜f(x)≤2，当且仅当x＝1时，f(x)＝2，因此，函数f(x)＝(12)x2－2x的值域为(0，2]．注意：必须注意f(x)＝(12)x2－2x＞0．例2判断函数f(x)＝ax＋a－x(a＞0，且a≠1)的奇偶性，并证明之．解函数f(x)的定义域是R．由于对定义域内任意x，都有f(－x)＝a－x＋ax＝f(x)，所以函数f(x)＝ax＋a－x是偶函数．解：(1)因为对人任意x∈R，3x＋1≠0，所以函数f(x)的定义域是R．(2)因为y＝f(x)＝3x－13x+1＝1－23x+1yx1O1y＝g(t)(t＞0)设t＝3x，则y＝g(t)＝1－2t+1(t＞0)．设0＜t1＜t2，则y1－y2＝2t2+1－2t1+1＝2(t1－t2)(t1+1)(t2+1)＜0，所以函数y＝g(t)是(0，＋∞)上的增函数．所以y＞1－20+1＝－1．所以f(x)的值域是(－1，＋∞)．注意：可画出函数y＝g(t)(t＞0)的图象，由图象得y＞－1．(安排此问题是为了让学生通过3x－13x+1，1－23x+1这两个形式之间的转化，为下面两个函数的性质做铺垫)(3)提问：计算f(－x)应该用3x－13x+1，1－23x+1哪一种形式计算更为方便呢？对于任意x∈R，都有f(－x)＝3－x－13－x+1＝1－3x1＋3x＝－3x－13x+1＝－f(x)，所以f(x)＝3x－13x+1是奇函数．(4)提问：计算f(x1)－f(x2)应该用3x－13x+1，1－23x+1哪一种形式计算更为方便呢？对于R上任意两个值x1，x2，设x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝(1－23x1＋1)－(1－23x2＋1)＝23x2＋1－23x1＋1＝2(3x1－3x2)(3x1＋1)(3x2＋1)，因为x1＜x2，y＝3x是单调增函数，所以3x1＜3x2，所以3x1－3x2＜0．又因为3x1＋1＞0，3x2＋1＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)＝3x－13x+1是R上的单调增函数．总结对于f(x)＝ax－1ax+1(a＞0，且a≠1)的单调性和奇偶性的研究，应该具体问题具体分析．第五讲巧解y=f(ax+b)函数的解析式和定义域有很多同学在求复合函数的解析式和函数的定义域时，有时感觉步骤太多，不愿求，或很容易求错。现在介绍一种简便的方法供同学们参考。一、求复合函数的解析式1、已知f(2x－1)=3x2-4x+3,求f(x+3)的解析式一般的方法是先利用换元法求出f(x)的解析式，再利用f(x)的解析式求f(x+3)的解析式。解：设2x-1=t,则x=21t,所以f(t)=3(21t)2-4·21t+3=4721432tt,f(x+3)=47)3(21)3(432xx=74432xx巧解：令2x-1=t+3,则x=24t,所以f(t+3)=3(24t)2-4·24t+3=74432tt所以f(x+3)=74432xx2、已知f(x21)=5-3x,求f(x+1)的函数解析式解：设x21=t,所以x=212t(t0),f(t)=5-3·212t=27232tf(x+1)=27)1(232x(x-1)练习：(1)已知：f(3x+8)=3x2+6x+9,求f(1-3x)的函数解析式（2）已知f(43x)=9x+8,求f(3x-8)的函数解析式二、求函数的定义域1、已知函数y=f(235x)的定义域为（3，13），求y=f(3x－8)的定义域学生对这样的题，关键在定义域的定义理解错误，造成解题错误，很多同学以为定义域指的是3x－8的取值范围，根据函数的定义域的概念：是使函数有意义的x的值范围，所以这题正确解法如下：一般解法：解：依题意3x13，6235x31,所以63x-831,解得13314x，所以函数f(3x-8)的定义域为｛x|13314x｝.巧解：令235x=3t－8,5136tx,因为3x13,35136t13,解得13314t，所以函数f(3x-8)的定义域为｛x|13314x｝练习：（1）已知y=f(326x)的定义域为（3，8），求y=f(8x－3)的定义域。第六讲指数,对数函数1．(2005广东)函数xexf11)(的定义域是．2.（2007上海理）函数3)4lg(xxy的定义域是3.（2007全国Ⅰ文、理）函数y=f(x)的图像与函数y=log3x(x0)的图像关于直线y=x对称，则f(x)=4．(2005江西理、文)若函数)2(log)(22aaxxxf是奇函数，则a=．5.（2007重庆理）若函数f(x)=1222aaxx的定义域为R，则a的取值范围为6．（2007江西理）设函数y＝4＋log2(x－1)(x≥3)，则其反函数的定义域为7．（2004湖南文科）若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是8.（2001上海理科）设函数f(x)=),1(x,xlog,1-x,281x，则满足f(x)=41的x值为____________.第七讲关于函数的对称性和周期性函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2005年，广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。一、函数的对称性1、函数()yfx满足()()faxfbx时，函数()yfx的图象关于直线2abx对称。证明：在函数()yfx上任取一点（x1，y1），则11()yfx，点（x1，y1）关于直线2abx的对称点（1abx，y1），当1xabx时，11111()[()][()]()fabxfabxfbbxfxy，故点（1abx，y1）也在函数()yfx图象上。由于点（x1，y1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2abx对称。（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）2、函数()yfx满足()()faxfbxc时，函数()yfx的图象关于点（2ab，2c）对称。证明：在函数()yfx上任取一点（x1，y1），则11()yfx，点（x1，y1）关于点（2ab