北师大版高中数学必修1-知识点总结

1高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA（或)ABA中的任一元素都属于B(1)AA(2)A(3)若BA且BC，则AC或A(B)BA2(4)若BA且BA，则AB真子集AB（或BA）BA，且B中至少有一元素不属于A（1）A（A为非空子集）(2)若AB且BC，则AC集合相等ABA中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA（7）已知集合A有(1)nn个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它有22n非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集AB{|,xxA且}xB（1）AAA（2）A（3）ABAABB⑷Α⊆B⟺A∩B=A并集AB{|,xxA或}xB（1）AAA（2）AA（3）ABABAA(B)BABA3ABB⑷A⊆B⟺A∪B=B补集∁uA{|,}xxUxA且⑴（∁uA）∩A=∅,⑵(∁uA)∪A=U,⑶∁u(∁uA)=A,⑷∁u(A∩B)=(∁uA)∪(∁uB),⑸∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB)⑼集合的运算律：交换律：结合律:分配律:0-1律：等幂律：求补律：A∩∁uA=∅A∪uA=U∁uU=∅∁u∅=U反演律：∁u(A∩B)=(∁uA)∪(∁uB)∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作.2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。二、函数1．定义：设A、B是，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的，记作.2．函数的三要素为、、，两个函数当且仅当分别相同.;ABBAABBA)()();()(CBACBACBACBA)()()();()()(CABACBACABACBA,,,AAAUAAUAU.,AAAAAA4时，二者才能称为同一函数。3．函数的表示法有、、。§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式的集合.2．常见的三种题型确定定义域：①已知函数的解析式，就是.②复合函数f[g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的域是外函数f(x)的域.③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y＝f(x)中，与自变量x的值的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为法和法）例如：①形如y＝，可采用法；②y＝，可采用法或法；③y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c，可采用法；④y＝x－，可采用法；⑤y＝x－，可采用法；⑥y＝可采用法等.§3函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y＝f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、x2时，①都有，则称f(x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个；②都有，则称f(x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个.221x)32(2312xxxx121xxxcos2sin5若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为.2．判断单调性的方法：(1)定义法，其步骤为：①；②；③.(2)导数法，若函数y＝f(x)在定义域内的某个区间上可导，①若，则f(x)在这个区间上是增函数；②若，则f(x)在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论1．若f(x),g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)函数；2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为；3．互为反函数的两个函数有的单调性；4．复合函数y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调相同，则f[g(x)]为，若f(x),g(x)的单调性相反，则f[g(x)]为.5．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性.§4函数的奇偶性1．奇偶性：①定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有，则称f(x)为奇函数；若，则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x).②简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为；)()(xfaxfmxfaxf)()(am0a)(xf6②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期第三章指数函数和对数函数§1正整数指数函数§2指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y＝ax(a0，a≠1，x∈N＋)叫作________指数函数；形如y＝kax(k∈R，a0，且a≠1)的函数称为________函数．2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的mn次幂，记作b＝mna；(2)正分数指数幂写成根式形式：mna＝nam(a0)；(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：mna＝__________________(a0，m、n∈N＋，且n1)；(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．3．有理数指数幂的运算性质(1)aman＝________(a0)；(2)(am)n＝________(a0)；(3)(ab)n＝________(a0，b0)．§3指数函数(一)1．指数函数的概念一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图像和性质a10a1)(xfy)0,(),0,(ba)(xfybxax,)(xf7图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点______，即x＝____时，y＝____函数值的变化当x0时，______；当x0时，________当x0时，________；当x0时，________单调性是R上的________是R上的________§4对数(二)1．对数的运算性质如果a0，且a≠1，M0，N0，则：(1)loga(MN)＝________________；(2)logaMN＝________；(3)logaMn＝__________(n∈R)．2．对数换底公式logbN＝logaNlogab(a，b0，a，b≠1，N0)；特别地：logab·logba＝____(a0，且a≠1，b0，且b≠1)．§5对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数.2．对数函数的图像与性质定义y＝logax(a0，且a≠1)底数a10a18图像定义域______值域______单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图像过点______，即loga1＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈______；x∈[1，＋∞)时，y∈______.x∈(0,1)时，y∈______；x∈[1，＋∞)时，y∈______.对称性函数y＝logax与y＝1logax的图像关于______对称3.反函数对数函数y＝logax(a0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数．第四章函数应用§1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)____0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．1.2利用二分法求方程的近似解1．二分法的概念9每次取区间的中点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a，b]，使____________．(2)求区间(a，b)的中点，x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0，则________________；②若f(a)·f(x1)0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．