5.2 微积分基本公式-习题

第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解11．设函数0cosxytdt，求'(0)y，'()4y。【解】由题设得'()cosyxx，于是得'(0)cos01y，2'()cos442y。2．计算下列各导数：⑴2201xdtdtdx；【解】2201xdtdtdx2221()()dxxdx421xx。⑵1txdedtdx；【解】1txdedtdx1()xtdedtdx()xdexdx2xex。⑶cos2sincos()xxdtdtdx；【解】cos2sincos()xxdtdtdx0cos22sin0[cos()cos()]xxdtdttdtdx0cos22sin0cos()cos()xxddtdttdtdxdxsincos2200[cos()]cos()xxddtdttdtdxdx22cos(sin)(sin)cos(cos)(cos)ddxxxxdxdx22cos(sin)coscos[(1sin)](sin)xxxx22cos(sin)coscos(sin)sinxxxx22cos(sin)coscos(sin)sinxxxx2cos(sin)(sincos)xxx。⑷2ln1xxddtdxt。【解】2ln1xxddtdxt21ln111[]xxddtdtdxtt21ln111xxdddtdtdxtdxt2ln1111[]xxdddtdtdxtdxt第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解22211(ln)()lnddxxxdxxdx21112lnxxxx12lnxxx11(2)lnxx。3．设函数()yyx由方程00cos0yxtedttdt所确定，求dydx。【解法一】方程00cos0yxtedttdt中完成积分即为00sin0tyxet，亦即为(1)sin0yex，得知1sinyex，解出y，得ln(1sin)yx，于是得1cos(1sin)1sin1sindydxxdxxdxxcossin1xx。【解法二】在方程00cos0yxtedttdt两边对x求导，注意到()yyx，得00[cos](0)yxtddedttdtdxdx即得()cos0ydeyxdx，亦即cos0ydyexdx，解出dydx，得cosydyxdxe，方程00cos0yxtedttdt中完成积分即为00sin0tyxet，亦即为(1)sin0yex，得知1sinyex，再将1sinyex代入cosydyxdxe中，得coscos1sinsin1dyxxdxxx。4．设0sintxudu，0costyudu，求dydx。【解】问题是由参数方程求导【解法一】dydydtdxdxdt00cossinttdududtdududtcoscotsinttt。【解法二】dydx00cossinttdudududucossintdttdtcoscotsinttt。第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解35．求下列极限：⑴200coslimxxtdtx；【解】这是“00”未定型极限，应用洛必达法则，得200coslimxxtdtx20coslim1xx2cos01。⑵020arctanlimxxtdtx；【解】这是“00”未定型极限，应用洛必达法则，得020arctanlimxxtdtx0arctanlim2xxx----应用洛必达法则2011lim2xx----再次应用洛必达法则21112102。⑶220201limxxtdtx；【解】这是“00”未定型极限，应用洛必达法则，得220201limxxtdtx22201()()'lim2xxxx----应用洛必达法则4012lim2xxxx----完成求导2()'x40lim1xx----整理4101。⑷2220020()limxtxxtedttedt。【解】这是“00”未定型极限，应用洛必达法则，得第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解42220020()limxtxxtedttedt22200202limxxttxxdedtedtdxxe----应用洛必达法则2220202limxtxxxedtexe----完成求导20xtdedtdx22002limxtxxedtxe----分子分母同消去2xe222202lim2xxxxeexe----再次应用洛必达法则202lim12xx----分子分母同消去2xe222120。6．当x为何值时，函数20()xtIxtedt有极值。【解】由给定的函数20()xtIxtedt可见，其定义域为(,)，由于2'()xIxxe，可得()Ix有唯一驻点0x，无不可导点，显见，当0x时，'()0Ix，当0x时，'()0Ix，可知，函数()Ix在点0x处取得极小值。7．计算下列定积分：⑴22411()xdxx；【解】22411()xdxx321311()33xx33111(21)(1)332218。⑵94(1)xxdx；【解】94(1)xxdx1924()xxdx3292421()32xx33222221(94)(94)3221(278)(8116)322716。⑶312311dxx；第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解5【解】312311dxx313arctanx1arctan3arctan3366。⑷32201adxax；【解】32201adxax3202111()adxxaa302111()axdxaaa301arctanaxaa13(arctanarctan0)aaa1arctan3a13a3a。⑸420213311xxdxx；【解】420213311xxdxx02211(3)1xdxx301(arctan)xx30(1)arctan0arctan(1)10arctan114。⑹1011edxx；【解】1011edxx101(1)1edxx10ln(1)exlnln1e1。⑺240tanxdx；【解】240tanxdx240(sec1)xdx40(tan)xxtan4414。⑻240cos()2xdx；【解】240cos()2xdx401cos2xdx401(sin)2xx1(sin)244284。⑼212xdx；【解】212xdx021022xdxxdx0210(2)2xdxxdx202210xx22[0(1)](20)5。第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解6⑽20sinxdx；【解】20sinxdx20sinsinxdxxdx20sin(sin)xdxxdx20coscosxx(coscos0)(cos2cos)(11)[1(1)]4。⑾3401cos2xdx；【解】3401cos2xdx32402cosxdx3402cosxdx324022[coscos]xdxxdx324022(coscos)xdxxdx324022(sinsin)xx32[(sinsin0)(sinsin)]24222[(10)(1)]2221。⑿20()fxdx，其中21,1()1,12xxfxxx。【解】20()fxdx1201()()fxdxfxdx122011(1)2xdxxdx21320111()26xxx11(1)(81)2683。8．设2,[0,1)(),[1,2]xxfxxx，求0()()xxftdt在[0,2]上的表达式，并讨论()x在(0,2)内的连续性。【解】当0x时，00()()0xftdt3013xx；当(0,1)x时，0()()xxftdt20xtdt3013xt313x；当1x时，10(1)()ftdt120tdt3101133t3113xx2111()26xx；当(1,2)x时，0()()xxftdt101()()xftdtftdt1201xtdttdt312011132xtt211(1)32x21126x，第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解7当2x时，20(2)()ftdt1201()()ftdtftdt12201tdttdt3122011132tt211(21)321162211()26xx，于是，321,[0,1)3()11,[1,2]26xxxxx，由于初等函数313x在[0,1)内连续，初等函数21126x在(1,2]内连续，故要讨论()x在(0,2)内的连续性，仅须讨论()x在1x处的连续性，由于31111lim()lim33xxxx，211111lim()lim()263xxxx，且(1)2111()26xx13，可知()x在1x处连续，从而，()x在(0,2)内连续。9．设1sin,0()20,0xxfxxx或，求0()()xxftdt在(,)内的表达式。【解】当0x时，0()()xxftdt000xdt，当0x时，0()()xxftdt01sin2xtdt01cos2xt1cos2x，当x时，0()()xxftdt01sin02xtdtdt01cos02t1(11)21，于是得0,01cos(),021,xxxxx。10．设13201()()1fxxfxdxx，求10()fxdx。【解】对13201()()1fxxfxdxx等号两端在区间[0,1]上积分，注意10()fxdx为常数，得111320001()[()]1fxdxxfxdxdxx第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解8111320001[()]1dxfxdxxdxx11410001arctan[()]4xfxdxx101[()]44fxdx即有11001()()44fxdxfxdx，移项，整理即得10()3fxdx。11．已知21200()()2()fxxxfxdxfxdx，求()fx。【解】问题在于求出10()fxdx和20()fxdx，可应用上题的方法，对21200()()2()fxxxfxdxfxdx等号两端在区间[0,2]上积分，注意10()fxdx和20()fxdx均为常数，得20()fxdx22212200000[()][2()]xdxfxdxxdxfxdxdx21322220000011[()][2()]32xfxdxxfxdxx210082()4()3fxdxfxdx即有2210008