求极限的方法及例题总结

11．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5)13(lim2xx（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。2．极限运算法则定理1已知)(limxf，)(limxg都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）BAxgxf)]()(lim[（2）BAxgxf)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需BBAxgxf说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。28.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1xxx解：原式=43)213)(1(33lim)213)(1(2)13(lim1221xxxxxxxx。注：本题也可以用洛比达法则。例2)12(limnnnn解：原式=2311213lim12)]1()2[(limnnnnnnnnnn分子分母同除以。例3nnnnn323)1(lim解：原式11)32(1)31(lim3nnnn上下同除以。3．两个重要极限（1）1sinlim0xxx（2）exxx10)1(lim；exxx)11(lim3说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sinlim0xxx，exxx210)21(lim，exxx3)31(lim；等等。利用两个重要极限求极限例5203cos1limxxx解：原式=61)2(122sin2lim32sin2lim220220xxxxxx。注：本题也可以用洛比达法则。例6xxx20)sin31(lim解：原式=6sin6sin310sin6sin310])sin31[(lim)sin31(limexxxxxxxxxx。例7nnnn)12(lim解：原式=。313311331])131[(lim)131(limennnnnnnnnn4．等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当0x时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x～xsin～xtan～xarcsin～xarctan～)1ln(x～1xe。说明：当上面每个函数中的自变量x换成)(xg时（0)(xg），仍有上面的等价关系成立，例如：当0x时，13xe～x3；)1ln(2x～2x。定理4如果函数)(),(),(),(11xgxfxgxf都是0xx时的无穷小，且)(xf～)(1xf，)(xg～)(1xg，则当)()(lim110xgxfxx存在时，)()(lim0xgxfxx也存在且等于4)(xf)()(lim110xgxfxx，即)()(lim0xgxfxx=)()(lim110xgxfxx。利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9)arctan()31ln(lim20xxxx解：)31ln(0xx时，～x3，)arctan(2x～2x，原式=33lim20xxxx。例10xxeexxxsinlimsin0解：原式=1sin)sin(limsin)1(limsin0sinsin0xxxxexxeexxxxxx。注：下面的解法是错误的：原式=1sinsinlimsin)1()1(lim0sin0xxxxxxeexxxx。正如下面例题解法错误一样：0limsintanlim3030xxxxxxxx。例11xxxxsin)1sintan(lim20解：等价与是无穷小，时，当xxxxxxx1sin)1sintan(1sin0222，所以，原式=01sinlim1sinlim020xxxxxxx。（最后一步用到定理2）五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。5例1.)11sin1(lim20xxexx2.xxxln)1sin(sinlim05．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(xf和)(xg满足：（1）)(xf和)(xg的极限都是0或都是无穷大；（2）)(xf和)(xg都可导，且)(xg的导数不为0；（3）)()(limxgxf存在（或是无穷大）；则极限)()(limxgxf也一定存在，且等于)()(limxgxf，即)()(limxgxf=)()(limxgxf。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“00”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12203cos1limxxx（例4）解：原式=616sinlim0xxx。（最后一步用到了重要极限）例1312coslim1xxx6解：原式=212sin2lim1xx。例1430sinlimxxxx解：原式=203cos1limxxx=616sinlim0xxx。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15xxxxxxsincossinlim20解：313sinlim3)sin(coscoslimcossinlim202020xxxxxxxxxxxxxxxx原式例18])1ln(11[lim0xxx解：错误解法：原式=0]11[lim0xxx。正确解法：。原式21)1(2lim2111lim)1ln(lim)1ln()1ln(lim0000xxxxxxxxxxxxxxxxx应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19xxxxxcos3sin2lim解：易见：该极限是“00”型，但用洛比达法则后得到：xxxsin3cos21lim，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式=xxxxxcos3sin21lim（分子、分母同时除以x）7=31（利用定理1和定理2）6．连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x是函数)(xf的定义去间内的一点，则有)()(lim00xfxfxx。利用函数的连续性（定理6）求极限例4xxex122lim解：因为20x是函数xexxf12)(的一个连续点，所以原式=ee42212。7．极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例1.设0a，),2,1(,,,1121nxaxxaaaxaxnn求极限nnxlim。8定理8（准则2）已知}{,}{,}{nnnzyx为三个数列，且满足：（1）),3,2,1(,nzxynnn（2）aynnlim，aznnlim则极限nnxlim一定存在，且极限值也是a，即axnnlim。10.夹逼定理利用极限存在准则求极限例20已知),2,1(,2,211nxxxnn，求nnxlim解：易证：数列}{nx单调递增，且有界（0nx2），由准则1极限nnxlim存在，设axnnlim。对已知的递推公式nnxx21两边求极限，得：aa2，解得：2a或1a（不合题意，舍去）所以2limnnx。9例21)12111(lim222nnnnn解：易见：11211122222nnnnnnnnn因为1lim2nnnn，11lim2nnn所以由准则2得：1)12111(lim222nnnnn。9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。11.泰勒展开法1012.利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。8.利用复合函数求极限11十、利用级数收敛的必要条件求极限级数收敛的必要条件是：若级数1nnu收敛，则0limnnu，故对某些极限)(limnfn，可将函数)(nf作为级数1)(nnf的一般项，只须证明此技术收敛，便有0)(limnfn。例nnnn!lim十一、利用幂级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。例求)3333311(lim12nn7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数129求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化11还有个方法，非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）