21.5应用举例—航海问题同步练习

21.5应用举例——航海问题同步练习一、求距离1．台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞局所属专业救助轮“华意”轮、沪救12”轮前往出事地点协助搜救．接到通知后，“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°，“沪救12”轮测得出事地点C在B的南偏东30°．已知B在A的正东方向，且相距100海里，分别求出两船到达出事地点C的距离．如图1．[来源:Z,xx,k.Com]分析读懂题目，弄清与方位有关的词语，在△ABC中正确写出已知条件是解题的关键，依题意知△ABC是顶角为150°的等腰三角形，过点B作底边上的高，不难求出BC、AC的长．解：作BD⊥AC，依题意知∠ABC＝120°，∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝100海里．在Rt△BDC中，∴∠C＝30°，[来源:学科网]∴DC＝BC·Cos30°＝503．[来源:Zxxk.Com]∴AC＝1003．说明本题是三角函数的应用问题，其实质上是用解直角三角形的知识解斜三角形的问题，如何把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题，只要弄清题意，理解关键字词的含义，把实际问题转化为数学问题，方能正确作出辅助线，构造直角三角形求解．二、求速度2．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16.1海里/小时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向．求乙船的速度v（精确到0.1海里／小时）．[来源:学.科.网]（参考数据：sin32°＝0.53，Cos32°＝0.85，tAn32°＝0.62，Cot32°＝1.60）分析由题意知∠AOB＝90°，要求乙船的速度，得先求OB的长．解由题意可得：OA＝16．1×2＝32.2（海里），∠1＝32°，∠2＝58°．∴∠AOB＝180°－（∠1＋∠2）＝90°．由B在A的正西方向，可得∠A＝∠1＝32°．[来源:Zxxk.Com]又∵在Rt△AOB中，tAnA＝OBOA，∴OB＝OA·tAnA＝32.2×0.62＝19.964．∴v＝2OB＝19.964÷2＝9.982≈10.0（海里／小时）．[来源:Z_xx_k.Com]三、确定航行方向[来源:学科网ZXXK]3．如图3，海中有一小岛P，在其距82海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为16海里，若轮船继续向东方向航行，请计算轮船有无触礁的危险，如有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域．解依题意画出航行图，如图3，由P向A的正东方向作垂线PB，垂足为B．由∠PAB＝30°，得PB＝12AP＝8．因为8＜82，故有触礁的危险．[来源:学科网ZXXK]为了安全，应改变航行方向，并且保证P点到航向的距离不能小于暗礁的半径82，即这个距离至少等于82．[来源:学.科.网]设安全航向为AD，做PC⊥AD于C，由题意，AP＝16，PC＝82，∴sin∠PAC＝822162PCAP．∴∠PAC＝45°，从而知∠BAC＝15°．故轮船自A开始，至少应沿东偏南15°的方向航行，才能安全通过此海域．[来源:学&科&网]四、确定航船是否进入危险区4．今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°的方向上．前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上（如图4）．在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩．如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（3≈1.73）．[来源:学+科+网]解如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．在Rt△ADC中，AD＝CD·Cot∠CAD＝CD·Cot30°＝3CD．在Rt△BDC中，AD＝CD·Cot∠CBD＝CD·Cot45°＝CD．∴AB＝AD－BD＝3CD－CD＝（3－1）CD＝100．[来源:学科网]∴CD＝10031＝50（3＋1）≈136.5（米）．[来源:Zxxk.Com]∵136.5米＞120米．∴若船继续前进没有被浅滩阻碍的危险．[来源:学|科|网Z|X|X|K]