锐角三角函数的题型及解题技巧

1/3锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。一、化简或求值例1（1）已知tan2cot1，且是锐角，求22tancot2的值。（2）化简22sincoscossinabab。分析（1）由已知可以求出tan的值，化简22tancot2可用1tancot；（2）先把平方展开，再利用22sincos1化简。解（1）由tan2cot1得2tan2tan，解关于tan的方程得tan2或tan1。又是锐角，∴tan2。∴22tancot2＝22tan2tancotcot＝2(tancot)＝tancot。由tan2，得1cot2，∴22tancot2＝tancot＝13222。（2）22sincoscossinabab＝2222sin2sincoscosaabb＋2222cos2cossinsinaabb＝222222sincossincosab＝22ab。说明在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sincos1，tancot1等。二、已知三角函数值，求角例2在△ABC中，若223cossin022AB,AB均为锐角，求C的度数。分析几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cosA和sinB的值，进而求出,AB的值，然后就可求出C的值。2/3解由题意得2cos0,23sin0.2AB解得2cos,23sin.3AB又∵,AB均为锐角，∴45A,60B。∴18075CAB.说明解这类问题首先要熟记特殊角的三角函数值，还要掌握一些化简的技巧。三、已知锐角的一个三角函数值，求其余三角函数值例3已知tan2，求sincossincos的值。分析∵tan2，根据三角函数的定义，构造如图1的直角三角形，使90C，ACa，2BCa，就可求出sin,cos。解根据三角函数的定义，构造如图1的直角三角形，使90C，ACa，2BCa。则tan2，2225ABaaa。∴2sin55BCAB，5cos5ACAB.∴sincossincos＝21555155213355555。说明构造直角三角形解题，特别是解几何问题是应用比较广泛的一种方法。四、比较大小例4若太阳光线与地面成37的角，一颗树的影长10米，取31.7，则树高h的范围是（）A35hB510hC1015hD15h分析∵10tan37h，利用正切函数的性质估算出tan37的范围即可。解∵303745，∴tan30tan37tan45。而10tan37h，∴10tan3010tan3710tan45，1.7101013h，即510h。故选B。3/3说明掌握三角函数函数值随自变量的变化的性质，正确估算是解此题的关键。五、求齐次式的值例5已知tan2，（1）求sin3cos2cos5sin的值；（2）求222sinsincoscos的值。分析（1）可以仿造例3构造直角三角形求解。亦可考虑sin、cos及tan的关系，在sin3cos2cos5sin的分子、分母同时除以cos，转化为tan的代数式，然后求值；（2）222sinsincoscos的分母是1，利用22sincos1，仿造（1）求解。解（1）∵tan2，∴sin3cos2cos5sin＝sin3coscos2cos5sincos＝tan325tan23253＝112。（2）∵tan2，∴222sinsincoscos22222sinsincoscossincos222tantan1tan12222212175。说明如果所求代数式是关于sin和cos的齐次式或可转化为sin和cos的齐次式，可把原代数式转化成关于tan的代数式求解。