考研数学公式定理背诵手册(数学二)：高等数学

84考研数学公式定理背诵手册（数学二）第一部分高等数学一、函数、极限与连续1．基本初等函数基本初等函数共有以下六个，其性质和图形必须牢记．（1）常数函数：()yxc=．（2）幂函数：(ayxa=为常数)．（3）指数函数：(xyaa=是常数且0,1)aa≠．（4）对数函数：log(ayxa=是常数且0,1)aa≠，定义域(0,)+∞，它是指数函数xya=的反函数．（5）三角函数：正弦函数sin()yxx=−∞+∞．余弦函数cos()yxx=−∞+∞．正切函数tanyx=，|,(21),2DxxRxnnZπ⎧⎫=∈≠+∈⎨⎬⎩⎭．余切函数cotyx=，{}|,,DxxRxnnZπ=∈≠∈．正割函数1seccosyxx==，|,(21),2DxxRxnnZπ⎧⎫=∈≠+∈⎨⎬⎩⎭．余割函数1cscsinyxx==，{}|,,DxxRxnnZπ=∈≠∈．（6）反三角函数：反正弦函数arcsinyx=，[1,1]x∈−，值域,22ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦．反余弦函数arccosyx=，[1,1]x∈−，值域[0,]π．反正切函数arctanyx=，(,)x∈−∞+∞，值域,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠．85反余切函数arccotyx=，(,)x∈−∞+∞，值域(0,)π．2．其他常见函数（1）双曲函数：双曲正弦：sh2xxeex−−=，定义域(,)−∞+∞，奇函数．双曲余弦：ch2xxeex−+=，定义域(,)−∞+∞，偶函数．双曲正切：shthchxxxxxeexxee−−−==+，定义域(,)−∞+∞，奇函数．（2）符号函数：1,0,sgn0,0,1,0.xyxxx⎧⎪===⎨⎪−⎩（3）取整函数：[]yx=，y是x的最大整数部分．（4）狄利克雷函数：1,()0,.xyfxx⎧==⎨⎩当为有理数时,当为无理数时3.函数的基本特性奇函数或偶函数运算具有以下结论：奇函数±奇函数＝奇函数；偶函数±偶函数＝偶函数；奇函数×（÷）奇函数＝偶函数；偶函数×（÷）偶函数＝偶函数；奇函数×（÷）偶函数＝奇函数．4．两个重要极限重要极限：0sinlim1xxx→=．重要极限：1lim1xxex→∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠．5．间断点（1）()fx在点0x处无定义；（2）0lim()xxfx→不存在；（3）00lim()()xxfxfx→≠，则称点0x为()fx的间断点．6．连续函数的和、积及商的连续定理1有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数．定理2有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数．定理3两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零．867．反函数与复合函数的连续性定理4如果函数()yfx=在区间xI上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数()xyϕ=也在对应的区间{|(),}yxIyyfxxI==∈上单调增加（或单调减少）且连续．定理5设函数()uxϕ=当0xx→时的极限存在且等于a，即0lim()xxxaϕ→=，而函数()yfu=在点ua=连续，则复合函数[()]yfxϕ=当0xx→时的极限也存在且等于()fa，即0lim[()]()xxfxfaϕ→=．定理6设函数()uxϕ=在点0xx=处连续，且00()xuϕ=，而函数()yfu=在点0uu=连续，那么复合函数[()]yfxϕ=在点0xx=也是连续的．8．初等函数的连续性一切初等函数在其定义区间内都是连续的．9．闭区间上连续函数的性质定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值．定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界．定理3（零点定理）设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，且()fa与()fb异号（即()()0fafb⋅，则在开区间(,)ab内至少有函数()fx的一个零点，即至少有一个()abηη使()0fη=．定理4（介值定理）设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，且在这区间的端点取不同的函数值()faA=及()fbB=，则对于A与B之间的任意一个数c，在开区间(,)ab内至少有一点η，使得()()fcabηε=．推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值．因此当1a≠，be=时，1x=是()fx的可去间断点．综合（1）与（2）知：当0a=，be=时，()fx有无穷间断点0x=及可去间断点1x=．二、导数与微分1．常数和基本初函数的导数公式'()0C=；'1()xxμμμ−=；87'(sin)cosxx=；'(cos)sinxx=−；'2(tan)secxx=；'2(cot)cscxx=−；'(sec)sectanxxx=；'(csc)csccotxxx=−；'()lnxxaaa=；'()xxee=；'1(log)lnaxxa=；'1(ln)xx=；'21(arcsin)1xx=−；'21(arccos)1xx=−−；'21(arctan)1xx=+；'21(arccot)1xx=−+；'(sh)chxx=；'21(arsh)1xx=+；'(ch)shxx=；'21(arch)1xx=−；'21(th)chxx=；'21(arth)1xx=−2．函数的和、差、积、商的求导法则设()uux=，()vvx=都可导，则（1）'''()uvuv±=±；（2）''()CuCu=（C是常数）（3）'''()uvuvuv=+；（4）'''2uuvuvvv−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠(0)v≠．3．复合函数的求导法则设()yfu=，而()uxϕ=且()fu及()xϕ都可导，则复合函数[()]yfxϕ=的导数为dydydudxdudx=⋅或'''()()()fxfuxϕ=⋅．4．常用的n阶导数公式（1）()()ln(0)xnxnaaaa=，()()xnxee=；（2）()(sin)sin2nnkxkkxnπ⎛⎞=+⋅⎜⎟⎝⎠；88（3）()(cos)cos2nnkxkkxnπ⎛⎞=+⋅⎜⎟⎝⎠；（4）()()(1)(1)mnmnxmmmnx−=−−+；（5）()1(1)!(ln)(1)nnnnxx−−=−；（6）莱布尼茨公式：若()ux，()vx均n阶可导，则()()()0()nniininiuvCuv−==∑，其中(0)uu=，(0)vv=．5.曲线的渐近线分为三类：（1）垂直浙近线；若0x是函数()fx的无穷间断点，则直线0xx=是()yfx=的垂直渐近线．（2）水平渐近线：若lim()xfxa→∞=，则直线ya=是()yfx=的一条水平渐近线.（3）斜渐近线：若lim[()()]0xfxaxb→∞−+=，则直线(0)yaxba=+≠是()yfx=的斜渐近线6．微分中值定理定理1（费马定理）设()yfx=在0x点可导，则0x是()fx的极值点的必要条件是'0()0fx=．定理2（罗尔定理）设函数()fx在[,]ab上满足三个条件：（1）()fx在[,]ab上连续；（2）()fx在(,)ab内可导；（3）()()fafb=，则存在(,)cab∈使'()0fc=．定理3（拉格朗日定理）设函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，则存在(,)cab∈，使'()()()fbfafcba−=−．（2.3）有时我们称（2.3）式为拉格朗日中值公式．定理4（柯西定理）设函数()fx和()gx满足条件：（1）在[,]ab上连续，（2）在(,)ab内可导，且'()0gx≠，则存在(,)xab∈，使''()()()()()()ffbfaggbgaξξ−=−．89定理500⎛⎞⎜⎟⎝⎠型洛必达法则设()fx，()gx在0x的某去心邻域内可导，且0lim()0xxfx→=，0lim()0xxgx→=．若0''()lim()xxfxLgx→=存在（L可以是∞），则00''()()limlim()()xxxxfxfxLgxgx→→==存在．定理5'∞⎛⎞⎜⎟∞⎝⎠型洛必达法则设()fx，()gx在0x的某去心邻域内可导，且0lim()xxfx→=∞，0lim()xxgx→=∞．若0''()lim()xxfxLgx→=存在，则00''()()limlim()()xxxxfxfxLgxgx→→==（L可以是∞，0x可以是∞点）．注用洛必达法则必须注意其条件，同时若0''()lim()xxfxgx→不存在，只能说洛必达法则不能用，而不能肯定0()lim()xxfxgx→是否存在．定理6（局部泰勒公式）设()fx在0x点有n阶导数，则'''2000001()()()()()()2!fxfxfxxxfxxx=+−+−+()00001()()(())()!nnnfxxxxxxxnο+−+−→，其中'()000001()()()()()()!nnnPxfxfxxxfxxxn=+−+−，称为n阶泰勒多项式，0(())nxxο−称为皮亚诺余项．这个公式是微分公式的推广，当1n=时泰勒公式就是微分公式．定理7（泰勒中值公式）设()fx在包含0x在包含0x的某个区间上具有1n+阶导数，则对于此区间内任一点x，皆有()()()nnfxPxRx=+，其中()nPx是n阶泰勒多项式，()nRx是余项，称为拉格朗日型余项，它的表达式为(1)()110000(())()()()()(1)!(1)!nnnnnfxxxfRxxxxxnnθξ+++++−=−=−++．90请记住以下5个简单初等函数的泰勒公式：21112!!(1)!nxxnxxexexnnθ+=++++++（余项或()nxο），3211211sin(1)(1)cos3!(21)!(21)!kkkkxxxxxxkkθ+−−=−++−+−−+222121cos1(1)(1)cos2!(2)!(22)!kkkkxxxxxkkθ+−=−++−+−+2(1)(1)(1)(1)12!!anaaaaanxaxxxn−−−++=++++1(1)()(1)(1)!anaaanxnθ−−−−+++（余项或()nxο），23111ln(1)(1)(1)(1)231nnnnnxxxxxxxnnθ+−−−+=−+++−+−++定理8若函数()fx在某区间I上的导数'()0fx（或'()0fx），则在此区间()fx单调增加（或单调减少）．定理9可导函数()fx在区间I上单调不减（或不增）的充分必要条件是，在I上处处有'()0fx≥（或'()0fx≤）．定理10设()fx在点a的某邻域内连续，除a点外处处可导，且当xa时，'()0fx（或'()0fx）；当xa时，'()0fa（或'()0fx），则点a是()fx的极大值点（或极小值点）．特别，如果函数()fx在a可导，便有'()0fa=．定理11（极值的充分条件）若函数()fx具有二阶导数，且'()0fa=，则当''()0fa[或''()0fa]时，点a是()fx的极大值点（或极小值点）．定理12若在某区间I内处处有''()0fx（或''()0fx），则曲线()yfx=在I内的图形是凹的（或是凸的）．曲线上凹向的转折点称为拐点．因此(,())xfx是拐点的必要条件为''()0fx=，但非充分条件．若()fx三阶可导，则若''()0fx=且'''()0fx≠，点[],()xfx便是曲线拐点．曲率半径：曲率的倒数1RK=称为曲线()yyx=在点x处的曲率半径．曲率半径与点x有关．917.利用函数的性态讨论方程根的个数命题1如果连续函数()fx的单调区间为开区间或无穷区间，且在该区间的左端点的右极限与右端点的左极限异号（包括极限为,+∞−∞），则在该区间内()fx有且仅有一个零点，或方程()0fx=有且仅有一个实根；如不异号，则方程()0fx=没有实根．命题2连续函数()fx的单调区间为闭区间[,]ab，若在两端处函数值异号，则函数在该区间内有且仅有一个零点；若有一个端点为函数零点，则该区间内没有且另一端点也不是该函数的零点；若在两端点处函数值同号，则函数在该区间上无零点．﹡命题3设函数()fx在[,]ab上连续(,ab可为有限数，也可为无穷），且0lim()0xafx→+，0lim()0xbfx→−（或