3.2.2-2《自建函数模型解决实际问题》

-1-3.2.2函数模型的应用举例【教学目标】能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。【教学重难点】重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。【教学过程】I、引入：创设情景，揭示课题2010年4月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立甲型HⅠNⅠ趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于4月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击甲型HⅠNⅠ至关重要、分析报告说，就全国而论，甲型HⅠNⅠ病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了甲型HⅠNⅠ趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对甲型HⅠNⅠ未来的流行趋势做了分析预测。本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。II、新课：例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。销售单价与日销售量的关系如图所示:销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？探索以下问题：（1）随着销售价格的提升，销售量怎样变化？成一个什么样的函数关系？（2）最大利润怎么表示？润大利润=收入-支出例2、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断变化，汽车里程表读数skm与时间th的函数为分段函数.解：(1)阴影部分的面积为501801901751651360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.(2)根据图，有502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,45.ttttstttttt-2-这个函数的图象如图所示.例3、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：0rtyye.其中t表示经过的时间，0y表示0t时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数／万人55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为1r，2r，3r，…，9r.由155196156300r，可得1951年的人口增长率为10.0200r.同理，可得20.0210r，30.0229r，40.0250r，50.0197r，60.0223r，70.0276r，80.0222r，90.0184r.于是，1950～1959年期间，我国人口的增长率为12990.0221rrrr.令055196y，则我国在1951～1959年期间的人口增长模型为0.022155196tye，tN.根据表中的数据作出散点图，并作出函数0.022155196tye（tN）的图象.由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.(2)将130000y代入0.022155196tye，由计算器可得38.76t.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.变式训练：电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图所示，其中MNCD//.(1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式()fx和()gx；(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由.解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：20,0100,()310,100.10xfxxx，50,0500,()3100,500.10xgxxx(2)当fxgx时，3105010x，∴200x.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为0200x分钟，gxfx，故选择方案A；当客户通话时间为200x分钟时，gxfx，故选方案B.点评：本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.另外，在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.-3-III、归纳小结，巩固提高.通过以上四个题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：IV、作业：