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2007年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共60分)参考公式:如果事件AB,互斥,那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB,相互独立,那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么34π3VRn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(012)kknknnPkCppnn,,,,一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{12345}U,,,,,{13}A,,{234}B,,,则)BC()A(CUU()A.{1}B.{2}C.{24},D.{1234},,,2.若函数()yfx的反函数图象过点(15),,则函数()yfx的图象必过点()A.(11),B.(15),C.(51),D.(55),3.若向量a与b不共线,0ab,且aac=a-bab,则向量a与c的夹角为()A.0B.π6C.π3D.π24.设等差数列{}na的前n项和为nS,若39S,636S,则789aaa()A.63B.45C.36D.275.若35ππ44,,则复数(cossin)(sincos)i在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.若函数()yfx的图象按向量a平移后,得到函数(1)2yfx的图象,则向量a=()A.(12),B.(12),C.(12),D.(12),7.若mn,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是()A.若m,,则mB.若mn,mn∥,则∥C.若m,m∥,则D.若,⊥,则8.已知变量xy,满足约束条件20170xyxxy≤,≥,≤,则yx的取值范围是()A.965,B.965,,C.36,,D.[36],9.一个坛子里有编号为1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率是()A.122B.111C.322D.21110.设pq,是两个命题:21251:log(||3)0:066pxqxx,,则p是q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.设P为双曲线22112yx上的一点,12FF,是该双曲线的两个焦点,若12||:||3:2PFPF,则12PFF△的面积为()A.63B.12C.123D.2412.已知()fx与()gx是定义在R上的连续函数,如果()fx与()gx仅当0x时的函数值为0,且()()fxgx≥,那么下列情形不可能...出现的是()A.0是()fx的极大值,也是()gx的极大值B.0是()fx的极小值,也是()gx的极小值C.0是()fx的极大值,但不是()gx的极值D.0是()fx的极小值,但不是()gx的极值第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.已知函数2cos(0)()1(0)axxfxxx≥,在点0x处连续,则a.14.设椭圆2212516xy上一点P到左准线的距离为10,F是该椭圆的左焦点,若点M满足1()2OMOPDF,则||OM=.15.若一个底面边长为62,棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上,则此球的体积为.16.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列,记第i个数为i(i126)a,,,,若11a,33a,55a,135aaa,则不同的排列方法有种(用数字作答).三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数2ππ()sinsin2cos662xfxxxxR,(其中0)(I)求函数()fx的值域;(II)若对任意的aR,函数()yfx,(π]xaa,的图象与直线1y有且仅有两个不同的交点,试确定的值(不必证明),并求函数()yfxxR,的单调增区间.18.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABCABC中,90ACB,ACBCa,DE,分别为棱ABBC,的中点,M为棱1AA上的点,二面角MDEA为30.(I)证明:111ABCD;(II)求MA的长,并求点C到平面MDE的距离.19.(本小题满分12分)某企业准备投产一批特殊型号的产品,已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为3232010(0)3qCqqq该种产品的市场前景无法确定,有三种可能出现的情况,各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示:市场情形概率价格p与产量q的函数关系式好0.41643pq中0.41013pq差0.2704pq设123LLL,,分别表示市场情形好、中差时的利润,随机变量k,表示当产量为q,而市场前景无法确定的利润.(I)分别求利润123LLL,,与产量q的函数关系式;(II)当产量q确定时,求期望kE;(III)试问产量q取何值时,kE取得最大值.1A1C1BCBAMDE20.(本小题满分14分)已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线22yx上,其中O为坐标原点,设圆C是OAB的内接圆(点C为圆心)(I)求圆C的方程;(II)设圆M的方程为22(47cos)(7cos)1xy,过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PEPF,,切点为EF,,求CECF,的最大值和最小值.21.(本小题满分12分)已知数列{}na,{}nb与函数()fx,()gx,xR满足条件:nnab,1()()()nnfbgbnN*.(I)若()102fxtxtt≥,,,()2gxx,()()fbgb,limnna存在,求x的取值范围;(II)若函数()yfx为R上的增函数,1()()gxfx,1b,(1)1f,证明对任意nN*,limnna(用t表示).22.(本小题满分12分)已知函数2222()2()21tfxxtxxxt,1()()2gxfx.(I)证明:当22t时,()gx在R上是增函数;(II)对于给定的闭区间[]ab,,试说明存在实数k,当tk时,()gx在闭区间[]ab,上是减函数;(III)证明:3()2fx≥.绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)试题答案与评分参考说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分.(1)B(2)C(3)D(4)B(5)B(6)A(7)C(8)A(9)D(10)A(11)B(12)C二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.(13)-1(14)2(15)π34(16)30三、解答题(17)本小题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.满分12分.(Ⅰ)解:)1(coscos21sin23cos21sin23)(xxxxxxf1)cos21sin23(2xx1)6πsin(2x····························································5分由1≤)6πsin(x≤,得3≤2)6πsin(x1≤1.可知函数)(xf的值域为[-3,1].···············································7分(Ⅱ)解:由题设条件及三角函数图象和性质可知,)(xfy的周期为又由π,>0,得π2π2,即得.2··········································································9分于是有1)2π2sin(2)(xxf,再由2π2k≤6π2x≤2π2k)(Zk,解得6πk≤x≤3πk)(Zk.所以)(xfy的单调增区间为[6πk,3πk])(Zk.········12分(18)本小题主要考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与思维满分12分.(Ⅰ)证明:连结CD.∵三棱柱ABC-A,BC是直三棱柱.∴.1ABCCC平面∴CD为C1D在平面ABC内的射影.∵△ABC中,AC=BC,D为AB中点.∴,CDAB∴,1DCAB∵,//11ABBA∴.111DCBA(Ⅱ)解法一:过点A作CE的平行线,交ED的延长线于F,连结MF.∵D、E分别为AB、BC的中点.∵,//ACDE又,,//ACCECEAF∴,DEAF∵AF为MF在平面ABC内的射影,∴,DEMF∴MFA为二面角ADEM的平面角,30MFA.在Rt△MAF中,,221aBCAF30MFA,∴.63aAM作MFAG,垂足为G.∵,,DEAFDEMF∴.AMFDE平面∴.AMFMDE平面平面∴.MDEAG平面在Rt△GAF中,30MFA,AF=,2a∴4aAG,即A到平面MDE的距离为4a.∵,//DECA∴,//MDECA平面∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为4a,解法二:过点A作CE的平行线,交ED的延长线于F,连结MF.∵D、E分别为AB、CB的中点,∴,//ACDE又∵,,//ACCECEAF∴,DEAF∵,ABCMA平面∴AF为MF在平面ABC内的射影,∴,DEMF∴MFA为二面角ADEM的平面角,30MFA.在Rt△MAF中,,221aBCAF30MFA,∴.63aAM设C到平面MDE的距离为h.∵MDECCNEMVV,∴.·31·31hSMASMDECDE,63,8·212aMAaDECESCDE,6330cos,21·212aAFDEMFCESMDE∴,12383122haa∴4ah,即C到平面MDE的距离相等,为4a(19)本小题主要考查数学期望,利用导数求多项式函数最值等基础知识,考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力.满分12分.(Ⅰ)解:由题意可得L1=)102033()?3164(22qqqqq1014433qq(q>0).同理可得1081332qqL(q>0)1050333qqL(q>0)···············4分(Ⅱ)解:由期望定义可知3212.04.04.0LLLE)10503(2.0)10813(4.0)101443(4.0333qqqqqq.1010033qq(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可知E是产量q的函数,设101003)(3qqEqf(q>0
本文标题:2007年高考.辽宁卷.理科数学试题及解答
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