2013数学建模国赛A题优秀论文

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：青海大学参赛队员(打印并签名)：1.张帅2.邓媛媛3.何蕾指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：赵延忠日期：2013年9月16日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：车道被占用对城市道路通行能力的影响摘要：随着社会的发展，道路网络的扩大，当今车道占用问题愈发严重，利用数学建模对其进行分析和解决是必不可少的方法。由于城市道路具有交通密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间段，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当则会产生区域性拥堵甚至交通瘫痪。由于车道被占用的情况繁多、复杂，正确估算车道被占用情况则意义重大。另一方面车型种类复杂，大小不一，因此我们建立了一整套车辆等量转换体系，统一转换成标准车型再进行通行能力统计，我们以三十秒为一时间段，统计每一时间段内车辆通行数量，再运用MATLAB进行描点绘图，形象的展现出事故所处横断面实际通行能力的变化。极大增强了数据的直观性和可读性。对于排队长度、事故横断面实际通行能力、持续时间、路段上游车流量之间的关系，我们运用排队理论、车流波动理论以及格林希尔兹公式求得速度—密度线性相关模型搭建桥梁，将生活问题数学化，灵活运用数学知识解答，不仅加快了问题的解决速率，而且极大地提高了准确度。另一方面，我们采用累加法，绘制散点图线性拟合求数据的现行相关。并且对于数据的获取，我们注重真实，可信，多次比对求最优解，尽最大可能的降低误差。对于多种道路情况，我们所建模型均可适用，极大地节约了人力物力，提高了生产生活效率。关键词：车道占用通行能力排队等待车流波动理论格林希尔兹模型MATLAB一、问题重述根据视频，描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。分析同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。构建数学模型，分析视频1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系建立相应的函数模型，并针对一些情况进行求解优化。对于问题1，在视频中分别获取在每一时间段内的通行量，运用MATLAB对其进行描绘，来反映其实际通行能力的变化过程。对于问题2，将视频1、2中的数据分别提取出来，在同一平面上绘制其折线图，对比其数值大小，比较差异。对于问题3、4，运用数学建模思想，通过车流波动理论分析车流排队模型，建立函数关系式，优化数据。二、问题分析对于问题1、2，针对视频中交通事故所处横断面实际通行能力变化的分析，首先应先对道路上所行驶的不同车辆进行量化，将其转化为一定数目的标准型车辆。主要分为瞬时车道占有率分析和车辆类型的初始模糊划分两部分。其次采用MATLAB软件对数据进行绘图处理，描绘其大概变化趋势以及对于占用不同车道产生不同影响的对比，以此总结规律，以便建立数学模型。2-1瞬时车道占有率分析[1]车辆在行驶过程中所占用的道路空间包括车体本身占用的道路空间和该车车头与前车车尾之间的道路空间。对于城市道路上的车流而言,因车流速度比较低而车流密度比较大,故车辆之间的衔接空间变化较大。因而,本文采用车辆所占车道长度和行车速度的比值,即瞬时车道占有率,做为车辆分类和折算系数的基础研究。这一参数实际上就是车辆从车头到车尾全部通过某一断面所花费的时间。瞬时车道占有率的调查方法可借鉴车头时距的观测方法,主要有:人工法、检测器测量法、图象识别法、拍摄法等。由于该参数的单位一般是时间,所以相对其他交通流参数的调查方法来说,比较简单。由于我国车种繁多,且各种车辆的瞬时车道占有率会随自身车长和速度在一定范围内波动,具有相当的模糊性,故本文采用了模糊聚类的方法来研究车辆分类和折算系数的确定，关于模糊聚类发将在下一段落进行探究讨论。2-2车辆类型的初始模糊划分按照前述的初始划分,对应每一种分法可用一个c行n列的初始划分布尔矩阵0U来表示,设其元素为0u,用0表示第j个样本不属于第i类,用1表示第j个样本属于i类。将n个样本分到c类中去只有有限种分类,将全体车型分类矩阵构成了一个各种车辆类型的划分空间,为了确定最佳车型分类矩阵,首先计算初始划分各车型分类的初始聚类中心Vi：njmijnijjmijiuxuV1)()(式中，m是考虑加强jx对各类隶属度的对比度，4,3,2,1i„根据算出的初始聚类中心结合下式计算出的新的车型模糊划分矩阵U~：121)(1mekkjijijxxvxU判断新的车型模糊划分矩阵与迭代前车型划分矩阵之间对应元素差值的最大值max0ijijuu是否小于预先给定的一个很小的正数ε，如果是则计算结束，否则根据新的模糊划分矩阵U计算新的聚类中心。经过反复的迭代计算，得到最佳模糊划分矩阵*U。按照隶属度最大原则，将各车型瞬时车道占有率样本分类，即将中的*U每一列元素最大者取1，其余全部取0.得到车辆关于瞬时车道占有率的最佳模糊划分矩阵后，计算每个类别的最佳类别聚类中心*iV，以*iV为基础，确定不同类型车辆的折算系数。表1各种车型的换算系数折算系数车辆类型0.5自行车1.0小客车、微型面包车、中型三排座位面包车、载重一吨左右的微型客货车、中型吉普车1.4中型三排座位以上面包车及客车、载重二到四吨左右的中小型客货车、载重五吨左右的中型货车、中型油罐车3.4四十座左右大客车、载重五吨以上十吨以下的大型货车、大型拖挂平板车、水泥混凝土搅拌车、载重是吨以上特大货车、集装箱货车、工程机械车、大型油罐车根据本文计算结果,摩托车（电动自行车）相当于标准小客车的折算系数为0.5。从实际情况和一些研究成果来看是合理的。对于大型、特大型客货车,其折算系数为3.4,相对于高速公路[2]和其他等级公路上该车种的系数而言要偏高些。这正是城市道路上交通流特点。在公路上车辆间距较大,而在城市道路上,车流相对公路而言要更加紧密,因而大型、特大型车辆对交通流的影响在城市道路上要比在公路上大的多。三、符号说明1S：事故横断面实际通行能力1SK:车辆密度上升至1SK0T：交通事故持续时间2S：正常路况下实际通行能力2SK：车流密度下降为2SKQ:路段上游交通需求流量K：车流密度T：持续时间W：波速xyW：集散波的波速四、模型的假设1、将此上游路口红绿灯动态运动模型看成在一定环境下的稳态。2、在此模型中的制动由于对宏观车流量的影响甚微，故不作深层次讨论。3、S（实际通行能力）与T成正比，与x（队列排列长度）成反比。五、模型的建立与求解5-1模型的基本参数及特性[3]5.1.1借用物理学的概念，将交通流近似看做一辆辆汽车组成的连续流体，可以用流量（辆/h）、速度（km/h）、密度（辆/km）三个参数特征描述交通流的基本特性。从机理分析角度可建立车速与车流密度的线性模型即格林希尔兹公式：jfKKvv15.1.2城市干道的通行能力指单位时间内通过道路上制定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标，它有多种因素影响决定，但其数值是相对稳定的。城市干道的基本通行能力指在理想条件下标准车辆以前后两车最小车头间隔连续行驶是，单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数，记作：N.5.1.3对交通事故横断面实际通行量与时间进行累加，绘制散点图，线性拟合，如下图所示：不难发现实际通行量与时间成正比。5-2对问题1中图像的描述根据视频中信息，取交通事故发生时时间为t，并每隔30s记为一段时间，直至事故撤离，记录在每一段时间内通过事故所处横断面的各种机动车数量，记标准型车数量为M、大车数量为N、电动自行车（摩托车）数量为K。数据统计表格，MATLAB绘图程序见附件【1】对于表格中数据，运用MATLAB绘图可得如图所示：●蓝色折线表示标准型汽车在每段时间内通过事故所处横断面的数量变化曲线R-1；●绿色折线表示电动自行车（摩托车）在每段时间内通过事故所处横断面的数量变化曲线R-2；●红色折线表示大型汽车在每段时间内通过事故所处横断面的数量变化曲线R-3；又由问题分析可知，通过对大型车和非机动车进行等量转换可得S=M+N*3.4+K*0.5,进而用plot(x,k,'g*--')绘制出视频中交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化曲线，如图5-1-2所示。数据统计表格，MATLAB绘图程序见附件【2】5-2-15-3-15-3实际通行能力影响采用同5-2相同的方法对视频2中的数据进行处理分析，取30s为一时间间隔，记录在每一个时间间隔中通过横断面的各种机动车数量，并进行等量转换。统计数据并记录在表格中见附件【2】采用MATLAB对等量转换后数值绘图，见图5-3-1。并将其等量转化后与5-2-1中折线对比，见图5-3-2。由图5-3-2分析可得，视频2中横断面实际通行能力大部分处在视频1实际通行能力之上，即位于靠边缘车道时对车辆的阻碍能力明显低于靠内侧车道发生事故时对车辆的阻碍作用。5-3-15-5车流排队集结消散情况[4]假设上游交通需求量大于事发路段现有通行能力，到达车流在事故地点陆续减慢速度甚至停车，而集结成密度较高的队列，事故解除后，由于路段通行能力的恢复，排队车辆又陆续加速而疏散成具有一定适当密度的车队，车流中两种不同密度的分界面经过一辆辆车向车队后部传播的现象成为车流波动。由车流波动理论可知，波速公式为：xyW，yayxKKQQy根据交通流模型可知，交通量Q行车速度V车流密度K三者的关系为KVQ图2为事故发生后累计车辆-时间图，实线表示交通需求流量，点划线表示通过能力。事故发生时堵塞了部分车道，该路段通行能力下降1S；相应密度上升1SK；交通事故处理所需时间为0T；事故解除后到车队消散前通行能力回升为2S；车流密度相应地下降为2SK。5-6x、0T、Q、S函数模型的建立两波相遇的时间为T，当集结波与消散波在T0的范围内有交点时，表示车队有可能在有限时间内消散，否则不能消散。首先假设两波相遇之前该路段需求流量始终为Q1，OA与CB相交处表示排队向上游延伸达到的最远处，设两波相遇的时间为T，集结波波速为23W，则根据两波相遇时波传动的距离相等这一关系可知：02312TTWTW（1）其中：SsfSKKKVKKSQW111111121jssfssKKKVKKSSW212112123则：011221TKKKKKTSSy若1TT，则说明在车队消散之前该路段上有需求流量发生了变化需求流量变为2Q，相应的密度变为2K，所以（1）式改写为：023142112TTWTTWTW（2）其中：jSfsKKKVKKSQW112