宣城市-2018—2019学年度第一学期期末调研测试-高三数学试题(理科)

书书书宣城市２０１８—２０１９学年度第一学期期末调研测试高三数学试题（理科）考生注意事项：１本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分１５０分，考试时间１２０分钟２答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域３考生作答时，请将答案答在答题卷上第Ⅰ卷每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用０５毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效４考试结束时，务必将答题卡交回第Ⅰ卷（选择题，共６０分）一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分，共６０分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的１设全集Ｕ是实数集Ｒ，集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２＞２ｘ｝，Ｎ＝｛ｘ｜ｌｏｇ２（ｘ－１）≤０｝，则（瓓ＵＭ）∩Ｎ为Ａ｛ｘ｜１＜ｘ＜２｝Ｂ｛ｘ｜１≤ｘ≤２｝Ｃ｛ｘ｜１＜ｘ≤２｝Ｄ｛ｘ｜１≤ｘ＜２｝２设ｉ为虚数单位，复数（２－ｉ）ｚ＝１＋ｉ，则ｚ的共轭复数ｚ—在复平面中对应的点在Ａ第一象限Ｂ第二象限Ｃ第三象限Ｄ第四象限３．设数列｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，则“０＜ｑ＜１”是“｛ａｎ｝为递减数列”的Ａ充分不必要条件Ｂ必要不充分条件Ｃ充分必要条件Ｄ既不充分也不必要条件４函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｘ２－２的部分图象可能是　　　Ａ　　　　　　　　　Ｂ　　　　　　　　　　Ｃ　　　　　　　　　Ｄ５从正六边形的６个顶点中随机选择４个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于Ａ１１０Ｂ１８Ｃ１６Ｄ１５６若实数ｘ，ｙ满足ｘ＋ｙ≥３ｘ－ｙ≤３ｘ＋２ｙ≤{６，则（ｘ＋１）２＋ｙ２的最小值为槡槡Ａ２２Ｂ１０Ｃ８Ｄ１０）页４共（页１第题试）理（学数三高市城宣７已知圆Ｃ１：（ｘ＋２ａ）２＋ｙ２＝４和圆Ｃ２：ｘ２＋（ｙ－ｂ）２＝１只有一条公切线，若ａ，ｂ∈Ｒ且ａｂ≠０，则１ａ２＋１ｂ２的最小值为Ａ２Ｂ４Ｃ８Ｄ９８某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为Ａ８＋πＢ１６＋πＣ８＋２πＤ１６＋２π９已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）的周期为２，当ｘ∈［０，２］时，ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２，如果ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｌｏｇ５｜ｘ－１｜，则函数ｇ（ｘ）的所有零点之和为Ａ８Ｂ９Ｃ１０Ｄ１１１０若双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的一条渐近线与圆（ｘ－槡３）２＋ｙ２＝１有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是Ａ（１，槡６２］Ｂ［槡６２，＋∞）Ｃ［槡６３，＋∞）Ｄ［槡６３，１）１１已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｂｘ的图象在点Ａ（１，ｆ（１））处的切线ｌ与直线３ｘ－ｙ＋２＝０平行，若数列｛１ｆ（ｎ）｝的前ｎ项和为Ｓｎ，则Ｓ２０１９的值为Ａ２０１７２０１８Ｂ２０１８２０１９Ｃ２０１９２０２０Ｄ２０２０２０２１１２已知Ｒｔ△ＡＢＣ，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，ＣＡ＝５，Ｐ为△ＡＢＣ外接圆上的一动点，且ＡＰ→＝ｘＡＢ→＋ｙＡＣ→，则ｘ＋ｙ的最大值是Ａ３５Ｂ４３Ｃ４５Ｄ３４二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分１３．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制１丈＝１０尺，１斛＝１．６２立方尺，圆周率＝３），则该圆柱形容器能放米斛．１４二项式（ｘ－２ｘ２）６展开式中的常数项为．１５．已知ｓｉｎ（ｘ＋π４）＝１３，则ｓｉｎ４ｘ－２ｃｏｓ３ｘｓｉｎｘ＝．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ的图象与直线ｋｘ－ｙ－ｋπ＝０（ｋ＞０）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为ｘ１，ｘ２，ｘ３，则ｔａｎ（ｘ２－ｘ３）ｘ１－ｘ２）页４共（页２第题试）理（学数三高市城宣三、解答题：共７０分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答。第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共６０分。１７．△ＡＢＣ中，ａ，ｂ，ｃ分别是内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边，且满足ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋－２ａ＋ｂｃ＝０．（Ⅰ）求角Ｃ的值；（Ⅱ）若ｂ＝２，ＡＢ边上的中线ＣＤ＝槡３，求△ＡＣＤ的面积．１８．如图，四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥底面ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ为直角梯形，∠ＣＤＡ＝∠ＢＡＤ＝９０°，ＡＢ＝ＡＤ＝２ＤＣ＝槡２２，Ｅ、Ｆ，分别为ＰＤ，ＰＢ的中点（Ⅰ）求证：ＣＦ∥平面ＰＡＤ；（Ⅱ）若截面ＣＥＦ与底面ＡＢＣＤ所成锐二面角为π３，求ＰＡ的长度１９．每年七月份，我国Ｊ地区有２５天左右的降雨时间，如图是Ｊ地区Ｓ镇２０００～２０１８年降雨量（单位：ｍｍ）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（Ⅰ）假设每年的降雨天气相互独立，求Ｓ镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过３５０ｍｍ的概率；（Ⅱ）在Ｓ镇承包了２０亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为３１．１万元而乙品种水果的亩产量ｍ（ｋｇ／亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为３２－０．０１×ｍ（元／ｋｇ），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；　　降雨量［１００，２００）［２００，３００）［３００，４００）［４００，５００］亩产量５００７００６００４００２０．已知椭圆Ｅ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的右焦点Ｆ与抛物线ｙ＝４ｘ的焦点重合，且椭圆的离心率为１２（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆Ｅ右焦点Ｆ的直线ｌ与椭圆交于两点Ａ、Ｂ，在ｘ轴上是否存在点Ｍ，使得ＭＡ→·ＭＢ→为定值？若存在，求出点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由．）页４共（页３第题试）理（学数三高市城宣２１．已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２－ｘ＋ｌｎ（１＋ｘ）（ａ＞０）（Ⅰ）讨论函数ｆ（ｘ）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的ａ∈［１，２］，当ｘ∈［１３，３］时，不等式ｆ（ｘ）＋ｌｎａ≤ｍ恒成立，求实数ｍ的取值范围（二）选考题：共１０分．请考生在第２２、２３题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．２２【选修４－４：坐标系与参数方程】（１０分）已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与ｘ轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆Ｃ的参数方程为ｘ＝１＋２ｃｏｓαｙ＝－１＋２ｓｉｎ{α（α为参数），点Ｑ的极坐标为（２，７π４）．（Ⅰ）化圆Ｃ的参数方程为极坐标方程；（Ⅱ）若点Ｐ是圆Ｃ上的任意一点，求Ｐ，Ｑ两点间距离的最小值．２３【选修４－５：不等式选讲】（１０分）已知函数ｆ（ｘ）＝｜ｘ－ａ｜－｜２ｘ－１｜．（Ⅰ）当ａ＝２时，求ｆ（ｘ）＋３≥０的解集；（Ⅱ）当ｘ∈［１，３］时，ｆ（ｘ）≤３恒成立，求ａ的取值范围．）页４共（页４第题试）理（学数三高市城宣宣城市２０１８—２０１９学年度第一学期期末调研测试高三数学试题（理科）参考答案一、选择题：题　号１２３４５６７８９１０１１１２答　案ＣＤＤＣＤＣＤＢＡＡＣＢ二、填空题：１３２７００　　１４６０　　１５－７９　　１６１三、解答题：１７（Ⅰ）∵ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋－２ａ＋ｂｃ＝０，由正弦定理得：ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋－２ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢｓｉｎＣ＝０，即ｃｏｓＢ·ｓｉｎＣ＋ｃｏｓＣ（－２ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ）＝０，从而ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）－２ｓｉｎＡｃｏｓＣ＝０，即：ｓｉｎＡ－２ｓｉｎＡｃｏｓＣ＝０，又△ＡＢＣ中，ｓｉｎＡ＞０，故ｃｏｓＣ＝１２，得Ｃ＝π３６分…………………………………………………………………………（Ⅱ）由ＣＤ→＝１２（ＣＡ→＋ＣＢ→），平方得：３＝１４（２２＋ａ２＋２×２×ａ×ｃｏｓ６０°）从而ａ＝２或ａ＝－４（舍），故Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２×２×２×ｓｉｎ６０°＝槡３△ＡＣＤ＝１２△ＡＢＣ＝槡３２１２分…………………………………………………………１８（Ⅰ）证明：取ＰＡ的中点Ｑ，连接ＱＦ，ＱＤ，∵Ｆ是ＰＢ的中点，∴ＱＦ∥ＡＢ且ＱＦ＝１２ＡＢ，∵ＣＤ∥ＡＢ，ＣＤ＝１２ＡＢ，∴ＱＦ∥ＣＤ且ＱＦ＝ＣＤ，∴四边形ＱＦＣＤ是平行四边形，∴ＦＣ∥ＱＤ，又∵ＦＣ平面ＰＡＤ，ＱＤ平面ＰＡＤ，∴ＦＣ∥平面ＰＡＤ６分…………………）页４共（页１第案答考参）理（学数三高市城宣（Ⅱ）如图，分别以ＡＤ，ＡＢ，ＡＰ为ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间直角坐标系，设ＰＡ＝ａ则，Ａ（０，０，０），Ｂ（０，槡２２，０），Ｃ（槡２２，槡２，０），Ｄ（槡２２，０，０），Ｅ（槡２，０，ａ２），Ｆ（０，槡２，ａ２），取平面ＡＢＣＤ的法向量为ｎ１→＝（０，０，１）ＣＥ→（－槡２，－槡２，ａ２），ＣＦ→＝（－槡２２，０，ａ２）设平面ＣＥＦ的法向量为ｎ２→＝（ｘ，ｙ，ｚ），则有ＣＥ→·ｎ２→＝０ＣＦ→·ｎ２→＝{０，即－槡２ｘ－槡２ｙ＋ａ２ｚ＝０－槡２２ｘ＋ａ２ｚ＝{０，不妨取ｚ＝槡４２，则ｘ＝ａ，ｙ＝ａ，即ｎ２→＝（ａ，ａ，槡４２）∴ｃｏｓ＜ｎ１→·ｎ２→＞＝ｎ１→ｎ２→｜ｎ１→｜·｜ｎ２→｜＝１２，解得ａ＝槡４３，即ＰＡ＝槡４３１２分……１９（Ⅰ）频率分布直方图中第四组的频率为１－１００×（０００２＋０．００４＋０．００３）＝０．１Ｊ地区Ｓ镇每年降雨量超过３５０ｍｍ的概率为５０×０．００３＋０．１＝０．２５Ｊ地区Ｓ镇每年降雨量不超过３５０ｍｍ的概率为１－０２５＝０７５所以Ｊ地区Ｓ镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过３５０ｍｍ的概率Ｃ２３×（３４）２×１４＋Ｃ３３×（３４）３＝２７３２５分……………………………………………………………（Ⅱ）根据题意，总利润为２０ｍ（３２－０．０１ｍ）（元），其中ｍ＝５００，７００，６００，４００所以随机变量ξ（万元）的分布列如下表ξ２７３５３１２２２４ｐ０２０４０３０１故总利润ξ（万元）的数学期望Ｅξ＝２７×０．２＋３５×０．４＋３１．２×０．３＋２２．４×０．１＝５．４＋１４．０＋９．３６＋２．２４＝３１（万元）因为３１．１＞３１，所以老李来年应该种植甲品种水果，可使总利润的期望更大１２分……………………………………………………………………………………２０（Ⅰ）∵抛物线ｙ２＝４ｘ的焦点是（１，０）∴Ｆ（１，０），∴Ｃ＝１，又∵椭圆的离心率为１２，即ｃａ＝１２∴ａ＝２，ａ２＝４，则ｂ２＝ａ２－ｃ２＝３故椭圆的方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１４分……………………………………………………（Ⅱ）假设存在点Ｍ（ｘ０，０），使得ＭＡ→·ＭＢ→为定值，）页４共（页２第案答考参）理（学数三高市城宣当直线ｌ的斜率不为０时，可设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋１，联立ｘ２４＋ｙ２３＝１ｘ＝ｍｙ＋{１，得（３ｍ２＋４）ｙ２＋６ｍｙ－９＝０设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）则ｙ１＋ｙ２＝－６ｍ３ｍ２＋４ｙ１·ｙ２＝－９３ｍ２＋４，ＭＡ→＝（ｘ１－ｘ０，ｙ１），ＭＢ→＝（ｘ２－ｘ０，ｙ２）∴ＭＡ→·ＭＢ→＝（ｘ１－ｘ０）·（ｘ２－ｘ０）＋ｙ１·ｙ２＝（ｍ２＋１）ｙ１·ｙ２＋（１－ｘ０）ｍ（ｙ１＋ｙ２）＋（１－ｘ０）２＝（ｍ２＋１）（－９３ｍ２＋４）＋（１－ｘ０）ｍ（－６ｍ３ｍ２＋４）＋（１－ｘ０）２＝（６ｘ０－１５）ｍ２－９３ｍ２＋４＋（１－ｘ０）２要使上式为定值，即与ｍ无关，应有６ｘ０－１５３＝－９４解得ｘ０＝１１８，此时ＭＡ→·ＭＢ→＝－１３５６４当直线ｌ的斜率为０时，不妨设Ａ（－２，０），Ｂ（２，０），当Ｍ的坐标为（１１８，０）时ＭＡ→·ＭＢ→＝－１３５６４综上，存在点Ｍ（１１８，０）使得ＭＡ→·ＭＢ→＝－１３５６４为定值．１２分………………………２１（Ⅰ）因为ｆ（ｘ）的定义域是（－１，＋∞），ｆ′（ｘ）＝２ａｘ２＋（２ａ－１）ｘｘ＋１＝ｘ［２ａｘ－（１－２ａ）］ｘ＋１①当０＜ａ＜１２时，列表ｘ（－１，０）０（０，１２ａ－１）１２ａ－１（１２ａ－１，＋∞）ｆ′（ｘ）＋－＋ｆ（ｘ）增减增ｆ（ｘ）在（－１，０），（１２ａ－１，＋∞）单调递增；ｆ（ｘ）在（０，１２ａ－