2020届辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题(PDF版)

页1第丹东市2019~2020学年度上学期期末教学质量监测高三理科数学命题：宋润生郭林葛冰杨晓东审核：宋润生本试卷共22题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|x－2＜0}，则A∩B＝A．(－1，2)B．(2，3)C．(－3，－1)D．(－∞，2)2．复数z＝3－i1＋i的模|z|＝A．1B．2C．2D．53．某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元，B点表示Q产品9月份销售额约为25万元．根据图中信息，下面统计结论错误．．的是A．P产品的销售额极差较大B．P产品销售额的中位数较大C．Q产品的销售额平均值较大D．Q产品的销售额波动较小4．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为A．12B．16C．20D．242530201510501月月2月月3月月4月月5月月6月月7月月8月月9月月10月月11月月12月月P产品的销售额/万元Q产品的销售额/万元AB页2第5．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．c＜b＜a6．若sinα＝2cosα，则cos2α＋sin2α＝A．125B．95C．1D．457．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π68．设α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列命题错误．．的是A．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．B．如果α∥β，mα，那么m∥β．C．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．D．如果α内有两条相交直线与β平行，那么α∥β．9．甲乙两队进行排球决赛，赛制为5局3胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队以3:1获胜的概率为A．316B．14C．38D．1210．下列函数中，其图象与函数y＝lgx的图象关于点(1，0)对称的是A．y＝lg(1－x)B．y＝lg(2－x)C．y＝log0.1(1－x)D．y＝log0.1(2－x)11．关于函数f(x)＝|sinx|＋sin|x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间(－π2，0)单调递减③f(x)在[－π，π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①③④D．①④12．抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，若|AB|＝8，则p＝A．12B．1C．2D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数f(x)在R单调递减，且为奇函数，则满足f(x＋1)＋f(x－3)＜0的x的取值范围为．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2－b2－c24，则A＝．页3第15．设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点，若|PQ|＝|OF|，则C的渐近线方程为．16．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的表面上，AB＝3，异面直线AC1与BC所成角的余弦值为310，则AA1＝，球O的表面积为．（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝Sn·Sn＋1．（1）证明：数列{1Sn}是等差数列；（2）求{an}的通项公式．18．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（1）将T表示为X的函数；（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率，例如：若X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110）的概率．求利润T的数学期望．19．（12分）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．需求量X(t)频率组距0.0100.0150.0200.030100110120130140000000015000000000.025页4第20．（12分）已知圆O1：x2＋y2－2x－7＝0，动圆O2过定点F(－1，0)且与圆O1相切，圆心O2的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设斜率为1的直线l交C于M，N两点，交y轴于D点，y轴交C于A，B两点，若|DM|·|DN|＝λ|DA|·|DB|，求实数λ的值．21．（12分）已知函数f(x)＝1＋x1－x＋lnx．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）证明：在(1，＋)上存在唯一的x0，使得曲线y＝lnx在x＝x0处的切线l也是曲线y＝ex的切线．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a＞0，b＞0．（1）证明：a3＋b3≥a2b＋ab2；（2）若a＋b＝2，求a3＋b3的最小值．页5第丹东市2019~2020学年度上学期期末教学质量监测高三理科数学答案与评分参考一、选择题1．A2．D3．B4．A5．C6．C7．B8．C9．A10．D11．A12．C二、填空题13．(1，＋∞)14．3π415．y＝±x16．4，28π三、解答题：17．解：（1）因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＋1－Sn＝Sn·Sn＋1．两边同除以Sn·Sn＋1得1Sn＋1－1Sn＝－1．因为a1＝－1，所以1S1＝－1．因此数列{1Sn}是首项为－1，公差为－1的等差数列．【以上教育部考试中心《试题分析》解法】……………（6分）（2）由（1）得1Sn＝－1＋(n－1)(－1)＝－n，Sn＝－1n．当n≥2时，an＝Sn－1·Sn＝1n(n－1)．于是an＝－1，n＝1，1n(n－1)，n≥2，∈N*．……………（12分）18．解：【教育部考试中心《试题分析》解法】（1）当X∈[100，130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000．当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000．所以T＝800X－39000，100≤X＜130，65000，130≤X≤150．……………（4分）（2）由（1）知T≥57000元当且仅当120≤X≤150．由直方图知X∈[120，150]的频率为0.3＋0.25＋0.15＝0.7，所以下一个销售季度内利润T不少于57000元的概率估计值为0.7．……………（8分）（3）依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4页6第所以ET＝4500×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400．……………（12分）19．解法1：【教育部考试中心《试题分析》解法1】（1）因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以PO⊥AC，且PO＝23．连结OB．因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2．由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB．由PO⊥AC，PO⊥OB知PO⊥平面ABC．…………（4分）（2）过C作平面PAM的垂线，垂足为E．在平面PAM内过E作ED⊥PA，垂足为D，连接CD，，则PA⊥平面CDE，于是CD⊥PA．所以∠CDE是二面角M－PA－C的平面角．因为二面角M－PA－C为30°，所以∠CDE＝30°．在正三角形PAC中，CD＝23，所以CE＝CD2＝3．所以PC与平面PAM所成角的正弦值为3PC＝34．…………（12分）解法2：【教育部考试中心《试题分析》解法2】（1）同解法1（2）在平面ABC内作MD⊥AC，垂足为D，连接OB．由（1）知PO⊥平面ABC，故PO⊥OB．又AC⊥OB，所以OB⊥平面PAC，从而MD⊥平面PAC．在平面PAC内作DE⊥PA，垂足为E，连接ME．由DE⊥PA，MD⊥PA，得ME⊥PA．从而∠DEM是二面角M－PA－C的平面角．因为二面角M－PA－C为30°，所以∠DEM＝30°，于是DC＝DM＝33DE，DE＝32AD＝32(4－DC)．解得DC＝43，AD＝83．从而△PAM面积为S△PADcos30º＝12×83×23×23＝163．设点C到平面PAM距离为d，用两种方法计算三棱锥C－PAM的体积得13×12×4×43×23＝13×163×d，解得d＝3．PABMCOEDPABMCODE页7第所以PC与平面PAM所成角的正弦值为3PC＝34．…………（12分）解法3：【教育部考试中心《试题分析》解法3】（1）同解法1（2）如图，以O为坐标原点，→OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz．由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，23)，→AP＝(0，2，23)．取平面PAC的法向量为→OB＝(2，0，0)．设M(a，2－a，0)(0＜a≤2)，则→AM＝(a，4－a，0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．由→AP·n＝0，→AM·n＝0得2y＋23z＝0，ax＋(4－a)y＝0．，可取n＝(3(a－4)，3a，－a)，所以cos＜→OB，n＞＝23(a－4)23(a－4)2＋3a2＋a2．由已知得|cos＜→OB，n＞|＝32，所以23(a－4)23(a－4)2＋3a2＋a2＝32，解得a＝－4（舍去），a＝43，所以n＝(－833，433，－43)．又→PC＝(0，2，－23)，所以cos＜→PC，n＞＝34．所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34．…………（12分）20．解：（1）圆O1的圆心为(1，0)，半径为22，点F在圆O1内，故圆O2与圆O1相内切．设圆O2的半径为r，则|O2F|＝r，|O2O1|＝22－r，从而|O2O1|＋|O2F|＝22．因为|FF′|＝2＜22，所以曲线C是以点F(－1，0)，F′(1，0)为焦点的椭圆．由a＝2，c＝1，得b＝1，故C的方程为x22＋y2＝1．…………（6分）（2）设l：y＝x＋t，M(x1，y1)，N(x