高中数学易错题分类及解析

高中数学中的易错题分类及解析成都玉林中学周先华关键词：高考数学易错题全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩.易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性.易错题的分类解析:分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析.本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集.下表是易错题分类表：正文数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动.从数学学习的认知结构上讲，数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构.所以，数学中有许多题目，求解的思路并不繁杂，但解题时，由于读题不仔细，或者对某些知识点的理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨论……等等原因，都会导致错误的出现.“会而不对，对而不全”，一直以来都是严重影响考生数学成绩的重要因素.一．易错题的典型特征解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程度有关.同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关.1．考生自我心理素质：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程.部分考生题意尚未明确，加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍.2．易错点的隐蔽性：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体，而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成.数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用.个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强.3．易错点形式多样性：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等.4．易错题的可控性：学生的认识结构有其个性特点.在知识总量大体相当的情况下，有的学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取.在学生形成了一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和完善，所谓“吃一堑长一智”.只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的“警戒点”,养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少.二、易错题的分类解析1.数学概念的理解不透数学概念所能反映的数学对象的属性，不仅是不分精粗的笼统的属性，它已经是抓住了数学对象的根本的、最重要的本质属性.每一个概念都有一定的外延与内涵.而平时学习中对概念本质的不透彻，对其外延与内涵的掌握不准确，都会在解题中反映出来，导致解题出错.例1.若不等式ax2+x+a＜0的解集为Φ，则实数a的取值范围（）A.a≤-21或a≥21B.a＜21C.-21≤a≤21D.a≥21【错解】选A.由题意，方程ax2+x+a=0的根的判别式20140aa≤-21或a≥21，所以选A.【错因分析】对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握，忽视了开口方向对题目的影响.【正确解析】D.不等式ax2+x+a＜0的解集为Φ，若a=0,则不等式为x0解集不合已知条件，则a0；要不等式ax2+x+a＜0的解集为Φ，则需二次函数y=ax2+x+a的开口向上且与x轴无交点，所以a0且20140120aaa.例2.命题“若△ABC有一内角为3，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题是（）A．与原命题真值相异B．与原命题的否命题真值相异C．与原命题的逆否命题的真值不同D．与原命题真值相同【错解】选A.因为原命题正确，其逆命题不正确.【错因分析】本题容易出现的错误是对几个概念的理解失误：逆命题——将原命题的题设和结论交换、否命题——将原命题的题设和结论同时否定，逆否命题——将原命题的题设和结论交换后再同时否定，原命题与逆命题、否命题与逆命题是两对互为逆否的命题，互为逆否的命题是等价的.【正确解析】选D.显然，原命题正确；其逆命题为：“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为3”.也正确，所以选D.例3.判断函数f(x)=(x－1)xx11的奇偶性为____________________【错解】偶函数.f(x)=221(1)(1)(1)(1)(1)111xxxxxxxxx，所以22()1()1()fxxxfx，所以f（x）为偶函数.【错因分析】上述解法有两个错误：1未考虑函数的定义域；2.x-10，放入根号内后根号前应添负号.【正确解析】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为：(1)(1)01011101xxxxxx，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数.例4.(2011四川)1l，2l，3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）(A)12ll，23ll13//ll（B）12ll，3//ll13ll(C)123////lll1l，2l，3l共面（D）1l，2l，3l共点1l，2l，3l共面【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A正确；错解二：选C.平行就共面；【错因分析】错解一、二都是因为对空间的线线平行、线线垂直、共面等概念的理解不透彻所致.【正确解答】选B.命题A中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.例5.x=ab是a、x、b成等比数列的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【错解】C.当.x=ab时，a、x、b成等比数列成立；当a、x、b成等比数列时，x=ab成立.【错因分析】对等比数列的定义理解不透.【正确解析】选D.若x=a=0，x=ab成立，但a、x、b不成等比数列，所以充分性不成立；反之，若a、x、b成等比数列，则2xabxab，所以x=ab不一定成立，必要性不成立.所以选D.例6．(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率.(2)某种产品100件，其中有次品5件，现从中任抽取6件，求恰有一件次品的概率.分析:（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=.81【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率,83P上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式nmP自然就是错误的.（2）【错解】由题意知，这种产品的次品率为5%，且每次抽取相互独立，由独立重复实验概率公式，得：6件产品中恰有1件次品的概率为：2321.0)10051(1005)1(5166CP.【正解】在上题的解法中有两个错误：第一，100件产品，其中有5件次品与次品率为5%是两个不同的概念；第二，该实验不是独立重复实验，从100件产品中任抽6件，可当作抽了6次，每次抽1个，但每次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品或正品的概率，具体地说，如果第一次抽出的是次品，那么次品就少了一个，第二次再抽到次品的概率就小了…这就是说各次实验之间并非独立的，错用了独立重复实验概率公式，正确解法应为：2430.0610059515CCCP.2.公式理解与记忆不准数学公式众多，学生在应用公式解决数学问题时，由于理解不准确（例如公式成立的条件未考虑）或记忆不准确，极易导致运算失误.例如公式2(0,0,ababab当且仅当a=b时“=”成立）中极易忽略数a,b均为正和取等号的条件，还有学生把我们常用的一些公式记成下面的一系列错误公式：xx2，111xx，2)(vvuvuvu，yxyxaaaloglog)(log等等.例7.若1,0,0yxyx，则yx41的最小值为___________.【错解】yx418)2(14422yxxy，错解原因是忽略等号成立条件.【正解】yx41=945)(4yxxyyyxxyx例8.函数y=sin4x+cos4x－43的相位____________，初相为__________.周期为_________，单调递增区间为____________.【错解】y=sin4x+cos4x－43=1cos44x，所以相位为4x，初相为0，周期为2，增区间为….【错因分析】应先把函数转化为正弦型函数.教材中关于相位、初相……的定义是在正弦型函数的基础上.【正确解析】y=sin4x+cos4x－43=11cos4sin(4)442xx.相位为42x，初相为2，周期为2，单调递增区间为21[,]()42kkkZ.3.审题不严审题，是解题的第一步，考生在审题过程中可能发生读题不清楚、未发现隐含条件及字母的意义含混不清等错误.（1）读题不清例9.(2011四川)已知()fx是R上的奇函数，且当0x时，1()()12xfx，则()fx的反函数的图像大致是【错解】选B.因为1()2xy在0x内递减，且1()()12xfx过点（0，2），所以选B.【错因分析】考生未看清楚题目是求()fx的反函数的图像.【正确解答】A.根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当10,0()1,122xxy，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排除B、C；又根据原函数在0x时递减，所以选A.例10.编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为（）A．120B.119C.110D.109【错解】“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个（即五个）号码一致”，三个号码一致有3252CA种，四个号码一致仅一种，所以所求的坐法种数为532552199ACA，无选项.【错因分析】三个号一致时，另两个号则不能一致，例如已经选择了1、2和3号一致，则4号人只能坐5号位且5号人坐4号位，仅一种坐法而不是22A种.读题不清导致解题出错.【正确解析】选D.“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个（即五个）号码一致”，三个号码一致有35C种（若三个号一致，另外两个不在自己号位仅一种方法），四个号码一致仅一种，所以所求的坐法种数为53551109AC.选D.例11.一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是.【错解】一箱磁带有一盒次品的概率240.01(10.01)，一箱磁带中无次品的概率25(10.01)，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是240.01(10.01)+25(10.01).【错因分析】由于这一箱磁带共25盒，则一箱磁带有一盒次品的概率应为124250.01(10.01)C.【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率124250.01(10.01)C，一箱磁带中无次品的概率02525(10.01)C，所以