【高中数学必修四】2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ0时,λa的方向与a方向相同；当λ0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb复习实数与向量积θ=180°θ=90°回顾向量夹角的定义已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。θ=0°特殊情况OBAθ例如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！12060'C找向量夹角必须保证向量有相同的起点我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角向量的夹角？新课引入我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角新课引入在问题中，功是一个标量，它由力和位移两个向量确定。这启示我们，能否把功看成是这两个向量的一种运算结果呢？规定:零向量与任一向量的数量积为数0。数量积(向量的乘法)定义：说明：(1)两向量相乘(数量积)结果是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定,怎么决定？(2)a·b不能写成a×b,0已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b.a·b=|a||b|cosθ，babababa求求：已知例,43)2(;,//)1(2,11，分两种情况：）由解：（ba//1;2,baba同向，当。反向，当2,baba143cos212ba）（物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsFbOBaOA，作，过点B作1BB垂直于直线OA，垂足为，则1B1OB|b|cosθOABab1BOABab)(1B|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．θ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0BOAab1B数量积的几何意义数量积a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。数量积的重要性质:baba)3(0)1(bababababa同向时，与当)2(量积的定义有：都是非零向量，根据数设ba,222aaaaaaaa或特别地，bababa反向时，与当说明：“向量方等于向量模方”是向量和向量模相互转化的重要依据，今后常用。平面向量数量积的运算律已知向量和实数，则向量的数量积满足：,,abc（1）abba（交换律）（2）()()()ababab（数乘结合律）（3）()abcacbc（分配律）注意：数量积运算不满足结合律1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=02．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠03.若a≠0，a·b=0,则b=04.若a·b=0,则a·b中至少有一个为05.若b≠0，a·b=b·c,则a=c6.若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立7.对任意向量a,b,c,有(a·b)·c≠a·(b·c)8.对任一向量a,有a2=|a|2练习：判断正误(√）(×）(×）(×）(×）(×）(×）(√）平面向量的数量积及运算律例2.求证：（1）（2）2222bbaaba22bababa证明：（1）2bababaaabaabbb222bbaa（2）bababaabbb22babaababbaababaa向量满足完全平方公式、平方差公式，求的夹角为与，，：已知例obaba120322）（））（；（）；（）（babababa3232122；）；（）（baba54解：3)21(32120cos1obaba）（22352323bbaababa）（））（（59422222baba）（223120cos52bbaao342715879642)(4222bbaababa）（199642)(5222bbaababa）（.3例例4.已知,4,6baab与的夹角为60°，求：（1）在方向上的投影；（2）在方向上的投影；（3）bbaa||cosb=2cosa=3当且仅当为何值时，与互相垂直？kba2bak1.a·b=|a||b|cosθ2.数量积几何意义3.重要性质课堂小结4.运算律课堂练习:1.在△ABC中,=a,=b,a·b0,则△ABC是_____三角形BABC2.已知|a|=4,е为单位向量,它们的夹角为则a在е方向上的投影是_____2π33.设a、b、c是非零向量，则（a·b)·c是（）（A）数量（B）与a共线的向量(C)与c共线的向量(D)无意义钝角–2C