1999考研数一真题及解析

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。)(1)2011limtanxxxx(2)20sin()xdxtdtdx(3)24xyye的通解为y(4)设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是(5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件：1,()()(),2ABCPAPBPC9(),16PABC则()PA二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1)设()fx是连续函数，()Fx是()fx的原函数，则()(A)当()fx是奇函数时，()Fx必是偶函数。(B)当()fx是偶函数时，()Fx必是奇函数。(C)当()fx是周期函数时，()Fx必是周期函数。(D)当()fx是单调增函数时，()Fx必是单调增函数。(2)设21cos,0()(),0xxfxxxgxx其中()gx是有界函数，则()fx在0x处()(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(D)可导(3)设011,02(),()cos,,1222,12nnxxafxSxanxxxx其中102()cos,(0,1,2,),nafxnxdxn则52S等于()(A)12(B)12(C)34(D)34(4)设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则(A)当mn时，必有行列式AB0(B)当mn时，必有行列式AB0(C)当nm时，必有行列式AB0(D)当nm时，必有行列式AB0(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则(A)10.2PXY(B)1PX+Y1.2(C)1PX-Y0.2(D)1PX-Y1.2三、(本题满分5分)设()yyx，()zzx是由方程()zxfxy和(,,)Fxyz=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdx。四、(本题满分5分)求sin()cos,xxLIeybxydxeyaxdy其中a,b为正常数，L为从点A2a,0沿曲线2y=2-axx到点O(0,0)的弧.五、(本题满分6分)设函数0yxx二阶可导，且0yx，01y.过曲线yyx上任意一点,Pxy作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为1S，区间0,x上以yyx为曲边的曲边梯形面积记为2S，并设122SS恒为1，求此曲线yyx的方程.六、(本题满分6分)试证：当0x时，221ln1.xxx七、(本题满分6分)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，已知井深30m30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3/ms,在提升过程中，污泥以20/Ns的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？(说明：①111;NmJ其中,,,mNsJ分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S为椭球面222122xyz的上半部分，点P(,,)xyz∈S,π为S在点P处的切平面，(,,)xyz为点O(0,0,0)到平面π的距离，求.(,,)SzdSxyz九、(本题满分7分)设40tan,nnaxdx(1)求211nnnaan的值；(2)试证：对任意的常数λ0,级数1nnan收敛十、(本题满分8分)设矩阵153,10acAbca其行列式1,A又A的伴随矩阵*A有一个特征值0，属于0的一个特征向量为(1,1,1),T求,,abc和0的值.十一、(本题满分6分)设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，TB为B的转置矩阵，试证：TBAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩rBn.十二、(本题满分8分)设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量X,Y联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.YX1y2y3yiiPXxp1x182x18jjPYyp161十三、(本题满分6分)设总体X的概率密度为36(),0()0,xxxfx其他12,,,nXXX是取自总体X的简单随机样本.(1)求θ的矩估计量(2)求的方差.D1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.把正确答案填写在题中横线上.)(1)【答案】1.3【分析】利用0x的等价变换和洛必达法则求函数极限.【详解】方法1：22300011tantanlimlimtanlimtantanxxxxxxxxxxxxxxx220sec1lim3xxx洛220tanlim3xxx2201tanlim33xxxxx方法2：222000111cossincoslimlimlimtansinsinxxxxxxxxxxxxxxx3200sincoscoscossinsinlimlim3xxxxxxxxxxxxx洛0sin1lim33xxx(2)【答案】2sinx【分析】欲求(,)badxtdtdx，唯一的办法是作变换，使含有(,)xt中的x“转移”到之外【详解】令uxt，则dtdu，所以有0220sin()sinxxddxtdtududxdx220sinsinxduduxdx(3)【答案】22121,4xxyCeCxe其中12,CC为任意常数.【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程40yy的特征方程为：240,解得122,2，故40yy的通解为22112,xxyCeCe由于非齐次项为2(),xfxe因此原方程的特解可设为*2,xyAxe代入原方程可求得14A，故所求通解为*2211214xxyyyCeCxe(4)【详解】因为EA11...111...1............11...1(对应元素相减)两边取行列式，11...111...1............11...1EA1...121...1............11...1nnnn把第，，列加到第列11...1111...1()............11...1n提取第列的公因子2111...10...031()............00...1nn行行行行行行-1()nn令-1()0nEAn，得12(10((1)nn重)，重)，故矩阵A的n个特征值是n和0((-1)n重)(5)【答案】14【详解】根据加法公式有()()()()()()()()PABCPAPBPCPACPABPBCPABC因为()()()PAPBPC，设()()()PAPBPCp由于,,ABC两两相互独立，所以有2()()()PABPAPBppp，2()()()PACPAPCppp，2()()()PBCPBPCppp，又由于ABC，因此有()()0,PABCP所以()()()()()()()()PABCPAPBPCPACPABPBCPABC2220pppppp233pp又9()16PABC，从而29()3316PABCpp，则有2933016pp23016pp，解得3144p或p因1()()()2PAPBPCp，故14p，即1()4PA二、选择题(1)【答案】(A)【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.()fx的原函数()Fx可以表示为0()(),xFxftdtC于是00()()().utxxFxftdtCfuduC当()fx为奇函数时，()()fufu，从而有00()()()()xxFxfuduCftdtCFx即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：2()fxx是偶函数，但其原函数31()13Fxx不是奇函数，可排除(B)；2()cosfxx是周期函数，但其原函数11()sin224Fxxx不是周期函数，可排除(C)；()fxx在区间(,)内是单调增函数，但其原函数21()2Fxx在区间(,)内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】(D)【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.因为20001()(0)1cos2(0)limlimlim0,0xxxxfxfxfxxxxx2000()(0)()(0)limlimlim()0,0xxxfxfxgxfxgxxx从而，(0)f存在，且(0)0f，故正确选项为(D).(3)【答案】(C)【详解】由题设知，应先将()fx从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函数，然后再作周期(周期2)延拓，进一步展开为傅里叶级数，5111()(2)()()2222SSSS而12x是()fx的间断点，按狄利克雷定理有，111(0)(0)113222().2224ffS(4)【答案】B【详解】方法1：A是mn矩阵，B是nm矩阵，则AB是m阶方阵，因()min(),()min,rABrArBmn.当mn时，有()min[(),()]rABrArBnm.(()0ABx的系数矩阵的秩小于未知数的个数)，故有行列式0AB，故应选(B).方法2：B是nm矩阵,当mn时,则()rBn(系数矩阵的秩小于未知数的个数)，方程组0Bx必有非零解，即存在00x，使得00Bx，两边左乘A，得00ABx，即0ABx有非零解，从而0AB，故选(B).方法3：用排除法(A)mn，取1,00,0mnnmAB0000AB，0AB，(A)不成立(C)nm，取010,,1mnnmAB0AB，0AB，(C)不成立(D)nm，取110,,0mnnmAB1AB，1AB，(D)不成立，故选(B).(5)【答案】B【详解】根据正态分布的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布.因XY和相互独立，且~(0,1)XN，~(1,1)YN，所以2111~(,)TXYNu,2222~(,)TXYNu其中1()uEXY，21()DXY，2()uEXY，22()DXY由期望的性质：1()()011ETEXYEXEY，2()()011ETEXYEXEY由独立随机变量方差的性质：1()()112DTDXYDXDY2()()112DTDXYDXDY所以1~(1,2)TXYN，2~(1,2)TXYN(一般来说遇到正态分布的小题，主要就考两点，标准化和对称性，考虑问题也是从这两点出发)A选项：