2014年广东理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},MN则MNA．{1,0,1}B.{1,0,1,2}C.{1,0,2}D.{0,1}答案:B2.已知复数Z满足(34)25,iz则Z=A．34iB.34iC.34iD.34i答案:A2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25iiziiii提示故选A3.若变量,xy满足约束条件121yxxyzxyy且的最大值和最小值分别为M和m，则M-m=A．8B.7C.6D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CMmMmC答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k满足09,k则曲线221259xyk与曲线221259xyk的A．离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,kkkkkk答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量1,0,1,a则下列向量中与a成60夹角的是A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）0222222:(1,0,1)(1,1,0)11:,,60,.2210(1)1(1)0BB答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A.200,20B.100,20C.200,10D.100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,llll，满足122334,,llllll，则下列结论一定正确的是A.14llB.14//llC.14,ll既不垂直也不平行D.14,ll的位置关系不确定答案:D8.设集合12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iAxxxxxxi，那么集合A中满足条件“1234513xxxxx”的元素个数为A.60B.90C.120D.130答案:D1234511122252551311225254:1,2,31:C10;:C40;:CCC80.104080130,D.xxxxxCCACC提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521xx的解集为.,32,:12532,,32,.答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25xey在点)3,0(处的切线方程为.'5'0:530:5,5,35,530.xxxyyeyyxxy答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.367101:6:67,36,136,.6CC答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC中，角CBA,,所对应的边分别为cba,,，已知bBcCb2coscos，则ba.2222222:2::coscos,2,2.sincossincos2sin,sin()2sin,sin2sin,2,2.::2,24,222,2.abCcBaabbBCCBBBCBaABabbabcacbbbaababacaabb答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列na的各项均为正数,且512911102eaaaa,则1220lnlnlnaaa.51011912101112202019151201011:50,,lnlnln,lnlnln,220ln20ln20ln100,50.aaaaaaeSaaaSaaaSaaaaeS答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为2sincos和sin＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin)cos,,:1,(1,1).CyxCyCC答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则CDFAEF的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEFCDFCDEBAEAEFAEAE答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（12分）已知函数RxxAxf),4sin()(，且23)125(f，（1）求A的值；（2）若23)()(ff，)2,0(，求)43(f.552332:(1)()sin()sin,3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sincoscossin)3(sin()coscos()sin)4444323cossin6cos426cos,(0,),42fAAAfxxff解由得10sin4331030()3sin()3sin()3sin3.44444f17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,nnf和2f的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):nnff解频率分布直方图如下所示0044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.BC根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝030，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D－AF－E的余弦值.:(1):,,,,A,,,,,,,,,,.(2):EEG//CFDFG,,,GGHAFH,EH,PDABCDPDPCDPCDABCDPCDABCDCDDABCDADCDADPCDCFPCDCFADAFPCCFAFADAFADFADAFACFADFCFDFEGDF解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A平面A过作于连则0022,CD2,30,130,==1,213324,,,=,,,3,2222333319322EG.,7,,42231933193193622,()()474747EHGDAFEDPCCDFCFCDDECFDECPEFDCDEDFDPCPDEEFAEAFEFDFAEEFEHHGAF为二面角的平面角设从而∥即还易求得EF=从而易得故3,476347257cos.1947319GHEHGEH12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),P(23,0,0),,(23,22,0),,,43331(,,0),(,0,0),ADFCP(3,1,0),2222AEF(xDPDCDAxyzDCACFCPFDFCFFEnn解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,43257(4,0,3),.19||||219nAEnAFnnnnn利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列na的前n和为nS,满足2*1234,nnSnannnN，且315S.(1)求123,,aaa的值;(2)求数列na的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(nnnnaSaaaaSaSaaaaaaaaSaaaaaaSnannnSnann解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11nnnkkknnaannaninaiinkakkknkaakkkkkkkkkkknk④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,21.nnNan时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为(5,0)，离心率为53，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点00(,)Pxy为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.222220022002255:(1)5,,3,954,31.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(cceabacaaxyCxyyykxxxyykxxykxky解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kxxykxkykxykxkykxkyxkxykykkxxy依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.Pxy程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数2221()(2)2(2)3fxxxkxxk，其中2k，（1）求函数()fx的定义域D（用区间表示）；（2）讨论()fx在区间D上的单调性；（3）若6k，求D上满足条件()(1