传染病模型

1SARS疫情的预测和分析及其对旅游业的影响摘要SARS对我国社会发展、人民生活产生了重大的影响。本论文共分三部分，第一部分对已给的模型进行了评价，肯定了其通俗性、实用性的优点，但也指出了其操作性弱、检测突发事情能力差的缺点。第二部分以传统的SIR模型为基础，充分考虑到传染病流行过程中人的行为因素，提出了政府采取严厉措施前和采取严厉措施后的两个阶段。在前一个阶段中对传统的SIR模型进行了修正，将SEIR模型和“超级感染者”模型相结合而建立了新的模型，后一阶段中，在SEIR模型基础上，引进了“基本传染数”模型，较好的预测了SARS走势。第三部分采取平均数趋势整理法，趋势比率法和曲线拟合的方法，建立了SARS对北京旅游业影响的分析和预测的模型。模型检验了北京2003年1月到4月的情形，并分情况对北京2003年9月--12月的海外旅游人数进行了预测，如果按照非典逐渐得到控制情况进行趋势比率法预测得到以后几个月份接待海外旅游人数分别为：9月份为26.69万人，10月份为27.96万人，11月份为24.15万人，12月份为18.19万人。如果非典问题重新暴发则根据曲线的模拟和预测得到：9月份为0万人（这是事实），10月份为15.9万人，11月份为5万人，12月份为接近0万人。关键词：SARS；预测；拟合；平均数趋势整理法]21．对附件1模型的评价上述模型基本上分析和预测出了SARS疫情的走势，通过对香港、广东的检验，模型基本符合要求。模型通过对变量K和L的修正，建立了很直观有效的SARS的控制与走势模型，模型在分析某一断时间内对非典的走势很有作用，但此模型在发生突发事情需要新的数据来修正K，这就严重影响了模型对突发事件的灵敏度，而且模型严重依赖数据，操作性不强。具体体现在以下几个方面：1.附件1模型中的N0需要调整。因为在传播有效天数限制下，到了期限就要把到达L天的病例从N0中除去。根据统计资料，N0至少要取三次不同的值，增加了人为因素。之所以模型的模拟趋势与广东、香港的疫情相吻合，是因为它是以已经得到的数据为基础，调整之后而得到的模拟参数。2.附件1的模型所采用的半模拟半循环方法，使此模型的建立离不开历史数据，而实际情况传染病传播的数据难以在短时间内进行有效的预测。3.附件1中将L固定，显然在医学上解释不通，因为从一般传染病传播情况,可以知道疾病在传播初期没有被控制的情况下，病人可以传染的期限要相对长，传染的人数要多；而一旦在人们重视以及采取预防措施的情况下，病人的传染期限和传染的人数都要大大减少，所以笼统的将其定为20是不太合理的。4.实际生活中还有一些无法控制的自由带菌者，这一部分对病人总数的影响不容忽视，附件1中的模型对此也没有考虑。2．SARS的传播预测模型在下面我们建立的模型中，我们建立了I（t）(即每天的病人累计数目)，E（t）（每天的感染累计病例）微分方程模型，又引进了“超级传播者”模型，增强了模型处理突发事件的能力，又因为模型中对多个参数进行了拟合修正，增强了预测的精确性，且由于模型变量多，操作性得到了增强。此模型是在实际情况基础上，详细讨论了SARS疾病从暴发到最终消亡的整个传播过程，运用计算机模拟历史数据和根据各种传播疾病的共有特征，再联系相关的医学资料确定相关重要的参变量，然后根据北京的SARS病人的情况，进行了模型的检验和对SARS疾病在北京地区做了传播分析和预测。另外模型最大的优点是建立了一个较为完整的稳定的预测疾病传播的模型。而影响传染病的因素有很多，比如说卫生、环境、人口密度、以及人们的重视程度等，所以我们所建立的模型最困难就是参数的确定，要抓住事物的本质来建立既贴近实际传染病的传播规律，而且又能够在数学上求解，这就需要经过长期的检测才行。2.1问题的提出2003年春天，SRAS（传染性非典型肺炎）曾经在我国的部分地区(香港、广州、北京等地区)暴发与蔓延，严重威胁着人民的身体健康与生命安全，影响我国的社会稳定与经济发展。如何建立SARS流行过程的数学模型，可以在较一般的情况下分析受感染人数的变化规律，如SARS的发病周期、最终发病人数、发病人数的变化趋势、疑似人口的变化趋势等，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计2.2问题的分析3SARS传播问题可以归结于传染病流行问题，但其暴发流行受人的影响很大，我国发病区域SARS传播和发展可分为两个阶段。第一阶段，即政府和公众不重视，未采取有力措施阶段。此过程中，SARS的传播是按自然的规律传播和发展。即有感染者—易感者---感染者的情形，且此过程中存在超级传播者（传染人数很多的感染者）。在我国，这一阶段的具体时间应是从SARS开始流行到4月28日。第二阶段，即政府和公众高度重视，且采取了强有力措施阶段。此过程中，SARS传播明显受到人的影响，交叉感染几率明显下降，超级传染者事件不再发生。在我国，这一具体时间应是4月28日以后。2.3基本假设总体假设：1.所公布的数据准确可靠；2.人口总数保持在固定水平上，即总人口数N不变；3.不考虑出生、其他原因死亡等方面的情况；4.假设SARS传播不因人而异；5.我们规定0t是2003年的4月20日；6.SARS的传播不受某些不确定因素（如温度）的影响。对第一阶段假设：1.不考虑水、空气等传播途径，感染者都是由于与SARS病人直接接触引起；2.根据医学证明，处于潜伏期的人不会传染他人；3.潜伏期为一常数，我们用T表示；4.被感染者在经过潜伏期后，都会变成病人；5.康复者不会二度感染；6.流入人口数等于流出人口数；7.我们将人群分为四类：即易感人群（未患病者），用S表示起总数；感染者（病人）用I表示其总数；移出人群（包括因病死亡和康复者），用R表示其总数；潜伏期者（即已感染SARS但还未发病者），用E表示起总数。对第二阶段假设：1.已患病（病症已表现）都被送到医院去隔离治疗，且不会再传染他人；2.感染人群有一部分被隔离，且发病后也不会传染他人；3.感染人群最终都会成为SARS患者；4.康复者不会被再度感染；5.我们仍将人群分为四类：即易感人群（未患病者），用S表示起总数；感染者（病人）用I表示其总数；移出人群（包括因病死亡和康复者），用R表示其总数；潜伏期者（即已感染SARS但还未发病者），用E表示起总数；设未被隔离的潜伏期者所占E的比率为q。2.4模型的建立与分析第一阶段模型由于我国人口基数大，不论是香港、北京还是全国其它地区，S相对I、R、E来说，都大得多，如北京1200多万人口，I、R、E合计不足一万人（4月28日以前），且4由于现代交通发达，人的活动范围大，有超级传染事件出现。故传统的SIR模型不能很好地反映SARS疫情。因此，我们采取了微分法与超级感染相结合的方法来建模。我们设易感人群S相对于I、R、E不变，即有0dSdT首先，让我们了解“超级传染者”模型设E=kte,其中，k为比例系数如下图（1-1）所示图1“超级传染者”模型示意图其中1号，6号，35号，127号，130号为超级传播者。（1）符号的说明：：为每天每个非超级传染者所传染的人数；m：为病人中成为超级传染者的比率；1：指处于潜伏期病人的日发病率；q：移出率，即死亡率和康复率之和；L：流出人口的人数，也即为流入人口的人数；p:流入人口中带菌者所带的比率；a:为使计算机能方便的求解，我们令a=e.（2）第一阶段模型方程的建立1dEIELPLEdt1（1-m）S-（Im）tλεKe（1）1dIEqIdtε（2）有初值0000,,,IREε，由mathematica可解得：(3)代入（2）式，也用mathematica可求解得I（t）((1))()teLLpIaktmasmEtL5（3）参数的确定：对于模型11λ---根据医学资料和有关数据推导而得。1q——由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。L——由城市的出入人口流动情况决定。（主要由经济发达程度和交通状况决定，可查有关资料）------根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可得。p——由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。第二阶段模型在第二阶段中，公众和政府开始重视SARS疫情，且政府采取了比较强有力的措施。如对SARS病人积极隔离治疗，对可疑人群实行隔离，以及实行出游限制等，控制住了SARS疫情。（1）符号的说明：2ε：指现在每天由感染者转变为病患者的比例：指感染者中未被隔离所占的比例2λ：指未被隔离的感染者发病后到入院隔离之前每天所感染的人数2q:指此阶段的移出率（包括死亡率和康复率）（2）建立模型2dIEqIdtε(4)22dEEEdtλε(5)有0E、0I等初值条件由（5）式可得22()dEdtEλ两边积分可得：（6）将（6）式代入（4）式，可得：I(t)=(7)（3）模型的改进此模型中存在着一个较大的问题，即将感染者看成是无限感染者，未考虑到感染者只能122()0()tEtEeλε20()2eqεθλ2Εε6在其发病到住院之前的一段时间可以感染他人。我们设这一段时间为一定值，用1T表示。故我们对模型（5）式做如下修正：22dEnEEdtλε，我们引进一调节参数n,当积分时211ttT,则从1t到1T这一段，n=1,从1T到2t这一段，n=0所以I（t）=2()20eq2εθλnεΕ此外，我们设R=2Tλ×，R称为基本传染数。它表示一种传染病的传播潜力。例如，当R=2，就意味着平均一个传染病人能够传染2个健康人。基本传染数等于1是SARS流行的一个重要转折点。小于1就意味着SARS不能有效的传递到下一个健康人，从感染率下降的意义上来说，这意味着SARS得到了控制。鉴于每个地区的情况（医疗卫生水平，经济发展情况，人口密度等）不同，所以对于模型中各参数不能用全国总的情况来分析，而应该各个城市分别对待。2.5模型的求解1.参数的量化（1）.第一个模型中的参数1:根据北京地区从4月20日到4月28日所公布的数据,一般情况,一个SARS病患者会感染三个人,故我们取1为31,我们也可以根据具体的情况对1进行修正。q:代表移出率（包括死亡率与康复率）。由于人们对SARS研究的深入,故第一阶段与第二阶段的q有较大的差别.我们采用MATLAB对已公布的数据进行了拟合.如图二所示:.图2为移出率随天数的曲线拟合图形且我们拟7合出了其关于t的函数关系式。即：q(t)=0.000082t-0.01813t+0.2024所以我们对前九天的q值进行求平均值,可得1q=0.1369,对后50天的q值也进行平均值处理,可得2q=0.2103.L:由于第一阶段时,公众的重视程度不够,故我们可以用SARS暴发前的流动人口来估算,我们约定为1000001:我们也用MATLAB进行了拟合,见下图3所示图3SARS暴发前的流动人口来估算我们拟合出了其方程,即有(t)=0.00014x-0.00293x+0.03162x-0.01739x+0.4664我们对前8天的值进行平均处理,可得1=0.1669,对后面的50天也进行平均处理,可得2=0.0356.p:流入人口中带菌者所带的比率.在SARS流行前,我们可查相关医学资料料,我们设为1/100。又对超级感染者模型中,我们通过对数据的多次修订,发现当k取0.865时,数据吻合的很好。:我们通过上网对新加坡的数据的分析,发现在第一阶段中,特别是在传染病爆发的初期,由于病人的基数少,其值较大,而在后期,其值较小.故我们采用分段式表示.即0.24...(05)0.01...(59)tt（2）第二阶段参数的确定2:由于此阶段中,公众对SARS的防治注意程度比较