音乐中的数学

音乐中的数学摘要：数学和音乐用不同的方式描述世界，存在着密切的关系，音乐的发展离不开数学。本文首先分析了音乐与数学发展的简史，然后着重从乐谱、律学和乐曲三个方面与数学的关系进行分析，证明了数学对音乐发展的巨大作用。关键词：音乐；数学；律学引言人们对数学与音乐之间联系的研究和认识可以说源远流长。这最早可以追溯到公元前六世纪，当时毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来。他们不仅认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系，从而发现了和声与整数之间的关系，而且还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的。于是，毕达哥拉斯音阶(thePythagoreanScale)和调音理论诞生了，而且在西方音乐界占据了统治地位。虽然托勒密(C．Ptolemy，约100-165年)对毕达哥拉斯音阶的缺点进行了改造，得出了较为理想的纯律音阶(theJustScale)及相应的调音理论，但是毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位直到十二平均律音阶(thetemperedScale)及相应的调音理论出现才被彻底动摇。在我国，最早产生的完备的律学理论是三分损益律，时间大约在春秋中期，《管子·地员篇》和《吕氏春秋·音律篇》中分别有述；明代朱载埔(1536—1610)在其音乐著作《律学新说》对十二平均律的计算方法作了概述，在《律吕精义·内篇》中对十二平均律理论作了论述，并把十二平均律计算的十分精确，与当今的十二平均律完全相同，这在世界上属于首次。由此可见，在古代，音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起。从那时起到现在，随着数学和音乐的不断发展，人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深。现代音乐与数学更是有着密不可分的关系，从音乐理论到具体的简谱书写，从音乐创作到音乐演奏，数学都扮演了不可或缺的角色。数学方法的应用给音乐的发展提供了强劲的动力，并将不断促进音乐的进步。一．乐谱的书写乐谱的书写离不开数学，乐谱是表现数学对音乐的影响的一个显著的领域。首先，所有的乐符都是借用了数学中的阿拉伯数字。1、2、3、4、5、6、7、8这8个数字根据不同的方式结合在一起就形成了现在无数种令人悦耳的声音。这不得不说是乐符和数字巧妙地结合。并且我们还可以发现1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的。其次，在乐稿上，我们看到速度、节拍（4／4拍、3／4拍，等等）、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符，等等。书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应。作曲家创作的音乐是在书写出的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体的。如果将一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数。二．律学中的数学乐音体系中各音的绝对准确高度及其相互关系叫做音律。律学曾一度被学术界称为绝学，它是音乐声学、数学和音乐学相互渗透的一门交叉学科。古今中外，律制包括三分损益律、新律、纯律、十二平均律等，目前被世界各国所广泛采用的是“十二平均律”。生律的方法有三种：古代是通过发音体的长度比例关系来计算的；近代是通过音程的频率比来计算；现代是由音高的音程值来计算。无论使用哪种方法，都与数学知识分不开，因此，《隋书·律历志》有“数因律起，律以数成”的说法。下面主要谈谈围绕长度比例的三分损益律和十二平均律与数学的联系。1．三分损益律学过弦乐器的人都知道，弦乐器的发声是因为琴弦的振动，而音高，也就是振动的频率，是与琴弦的长度成反比的。春秋中期，《管子·地员篇》和《吕氏春秋·音律篇》分别记述其计算的基本原则：以一条弦长为基数，将其均分成三段，舍一取二，三分损一，便发出第一个上五4度音；如果将其均分的三段再加一段，三分益一，便发出第一个下五4度音，用这种方法继续推算下去，可得“十二律”。用星海音乐学院前院长赵宋光的话说，就是掐死一条弦的三分之一，剩下其余的三分之二振动，奏出的音比空弦音高纯五度；掐死一条弦的四分之一，剩下其余四分之三振动，奏出的音比空弦音高纯四度。这说明长度比例2：3和4：3分别标志着纯五度和纯四度。2．十二平均律十二平均律是各相邻律(即半音)之间其频率比都相均等的一种律制，朱载墒的算法是将2开十二次方得到的弦长倍数，即“频率倍数”，把这个数连续自乘十二次，就分别产生十二平均律各律的频率倍数，而乘到第十二次，就达到2(八度)，即黄钟还原了。朱载培将十二平均律转化成了一个等比数列求公比的数学问题，彻底解决了我国律学史上长期不能解决的黄钟还原的难题。朱载靖的用等比数列推算十二平均律的具体算做法是：将八度分为12个律，并使12个律构成以1为首项，为公比的等比数列，精确地计算出“十二平均律”的每一个音，将十二个数目算到25位小数：贯穿在整个数学发展过程中有两个中心思想：即公理化和机械化思想。两者分属古希腊为代表的西方数学和以中国为代表的东方数学，它们交辉相映，各有利弊和侧重，近代数学就是在二者的合流交汇碰撞中产生的。朱载培首先发现“十二平均律”，就是得益于在中国传统数学的机械化算法特征。朱载靖用算盘完成了他在科学研究中包括开高次方在内的大量复杂计算，而且独创了极为巧妙、简捷的使用在算盘上的算法：如串联、并联等。十二平均律的发明和推广在音乐史上有着重大意义，有了这个新的音律，从一个音弹出的旋律可以复制到任何一个其它的音高上，而对旋律不产生影响，同时，所有乐器也都可以在一个音律标准下制造，打破了古乐器“单打独奏”的局面，产生了规模庞大、分工精细的交响乐队。十二平均律成为了音乐最基本的标准。三．乐曲中的数学函数如果我们把五线谱中的一条适当的横线作为时间轴(横轴算)，与时间轴垂直的直线作为音高轴(纵轴Y)，那么我们就在五线谱中建立了时间-音高的平面直角坐标系。于是，图1中一系列的反复或者平移，就可以用函数，近似地表示出来，如图5所示，其中X是时间，Y是音高。当然我们也可以在时间-音高的平面直角坐标系中用函数把图2中的两个音节近似地表示出来。在这里我们需要提及十九世纪的音一位著名的数学家，他就是约瑟夫·傅里叶(JosephFourier)，正是他的努力使人们对乐声性质的认识达到了顶峰。他证明了所有的乐声，不管是器乐还是声乐，都可以用数学式来表达和描述，而且证明了这些数学式是简单的周期正弦函数。音乐中不仅仅只出现平移变换，可能会出现其他的变换及其组合，比如反射变换等等。如果我们仍从数学的角度来考虑，把这些音符放进坐标系中，那么它在数学中的表现就是我们常见的反射变换。同样我们也可以在时间-音高直角坐标系中把这两个音节用函数近似地表示出来。图1五线谱中的直角坐标系图2时间-音高的平面直角坐标系同样，利用数学函数也可以产生旋律优美的乐曲。由一段三角函数图像出发，我们只要对它进行适当的分段，形成适当的小节，并在曲线上选取适当的点作为音符的位置所在，那么就可以做出一节节的乐曲。由此可见，我们不仅能像匈牙利作曲家贝拉·巴托克那样利用黄金分割来作曲，而且也可以从纯粹的函数图像出发来作曲。这正是数学家约瑟夫·傅里叶的后继工作，也是其工作的逆过程。其中最典型的代表人物就是20世纪20年代的哥伦比亚大学的数学和音乐教授约瑟夫·希林格(JosephSchiUinger)，他曾经把纽约时报的一条起伏不定的商务曲线描述在坐标纸上，然后把这条曲线的各个基本段按照适当的、和谐的比例和间隔转变为乐曲，最后在乐器上进行演奏，结果发现这竟然是一首曲调优美、与巴赫的音乐作品极为相似的乐曲。除了上述数学与乐谱的明显联系外，音乐还与比例、指数、曲线、周期函数以及计算机科学等相关联．毕达哥拉斯的追随者们(公元前585—400)最先用比例把音乐和数学结合起来．他们发现在乐声的协调与所认识的整数之间有着密切的关系，拨动一根弦发出的声音依赖于弦的长度．他们还发现协和音是由长度与原弦长的比为整数比的绷紧的弦给出．事实上被拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比．由增大成整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。音乐的器械，无论是弦乐还是管乐，在它们的结构中都反映出指数曲线的形对乐声本质的研究，在19世纪法国数学家傅立叶的著作中达到了顶峰．他证明了所有的乐声——不管是器乐还是声乐——都能用数学表达式来描述，它们是一些简单的正弦周期函数的和．每种声音都有三种品质：音调、音量和音色，并以此与其他的乐声相区别．傅立叶的发现，使人们可以将声音的三种品质通过图解加以描述并区分．音调与曲线的频率有关，音量与曲线的振幅有关，而音色则与周期函数的形状有关。很少有人既通晓数学又通晓音乐，这使得把计算机用于合成音乐及乐器设计等方面难于成功．数学的发现，即周期函数，是现代乐器设计和计算机音响设计的精髓．许多乐器的制造都是把它们产生的声音的图象，与这些乐器理想声音的图象相比较然后加以改进的．电子音乐的忠实再生也是跟周期图象紧密联系着的．音乐家和数学家们将在音乐的产生和再生方面，继续担任着同等重要的角色小结数学与音乐是人类精神中两种最伟大的产品，是两个金碧辉煌的世界；数学仅用十几个阿拉伯数字和若干个符号就造出了一个无限的、真的世界，音乐只用五条线和一些像蝌蚪的音符就造出了一个无限美的世界。实际上每个学科领域不是孤立地发展的，都要借助其他学科的力量让本身的发展更完美，更完善。而音乐的发展很大程度上依赖于数学，从以上的内容来看对音乐的发展有最大的贡献也确实是数学。参考文献[1]赵宋光文集(第二卷)[M]．广州：花城出版社，2001．[2]李重光．音乐理论基础[M]．北京：人民音乐出版社，2003．[3]戴振铎．广义三分损益律与朱载靖十二平均律及纯律的关系[J]．中国音乐学，2000，(4)．[4]刘卫锋，王尚志．数学与音乐[J]．数学通报，2005，(4)．