差分方程模型

差分方程模型第四讲养老保险第一讲差分方程第二讲蛛网模型第三讲商品销售量预测1、差分方程简介t规定只取非负整数，记为变量在点的取值，则称为的一阶向前差分，称为的二阶差分。由、及的差分给出的方程称为的差分方程。其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶数。差分方程也可以写成不显含差分的形式，例如二阶差分方程可以写成ttytttyyy1tytttttttyyyyyyy12122)(tyttttytytyty02tttyyy012tttyyy满足一阶差分方程的序列称为差分方程的解，若解中含有独立的常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。称如下形式的差分方程为阶常系数线性差分方程，其中是常数，。其对应的齐次方程为ty)(110tbyayayatnntntnnaaa,,,1000a0110tnntntyayaya求非齐次常系数线性差分方程的通解的步鄹：1.先求解对应的特征方程2.根据特征根的不同情况，求解齐次方程的通解若特征方程有个不同的实根，则齐次方程的通解为；若是特征方程的重实根，则齐次方程的通解为；若特征方程有单重复根，则齐次方程的通解为，其中为的模，为的幅角；0110nnnaaann,,1tnntcc11ktkktcc)(11itctcttsincos1122arctan若特征方程有重复根，则齐次方程的通解为3.求非齐次方程的一个特解，若为齐次方程的通解，则非齐次方程的通解为。对特殊形式的特解可以使用待定系数法求非齐次方程的特解。例如，为的次多项式时可以证明：若不是特征根，则非齐次方程有形如的特解，也是的次多项式；若是重特征根，则非齐次方程有形如的特解。进而可以用待定系数法求出，从而得到非齐次方程的一个特解。kittccttcctkktkksin)(cos)(1111tytyttyy)(tb)()(tpbtbkt)(tpktkb)(tqbkt)(tqktkbr)(1tqtbkrt)(tqk例1.求解两阶差分方程解对应齐次方程的特征方程为，其特征根为，故齐次方程的通解为，原方程有形如的特解，带入原方程求得，所以原方程的通解为在应用差分方程研究问题时，需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性差分方程，若不论其对应齐次方程的通解中的任意常数如何取值，当时，，则称方程的解是稳定的。tyytt2012i2,1tctcyt2sin2cos21bat2/1,2/1ba21212sin2cos21ttctct0ty2、常系数线性差分方程的变换解法采用上述解析解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，下面介绍变换，将差分方程转化为代数方程去求解设有离散序列，则的变换定义为其中是复变量，上式右端的级数的收敛域是某个圆的外部的反变换记作ZZ,1,0),(kkx)(kxZ0)())(()(kkzkxkxZzXz)(zXZ)]([)(1zXZkx几个常用离散函数的变换(3)单边指数函数的变换(为不等于1的正常数)(1)单位冲激函数的变换(2)单位阶跃函数的变换Z001]1[)()]([kkkkzzkkZ)(kZ)(kUZ)1|(|11)()]([00zzzzzkUkUZkkkkkakf)(Za)|(|][0azazzzaaZkkkk(1)线性性质设，则变换的性质(2)平移性质：设，则Z)()]([),()[([2211zXkxZzXkxZ)()()]()([2121zbXzaXkbxkaxZ)()]([zXkxZ)]0()([)]1([xzXzkxZ])()([)]([10NkkNzkxzXzNkxZ])1()([)]1([1zxzXzkxZ])()([)]([1NkkNzkxzXzNkxZ例2.求解齐次差分方程解令，对差分方程取变换得对上式取反变换，便得差分方程的解为1)1(,0)0(,0)(2)1(3)2(xxkxkxkx)()]([zXkxZZ0)(2)(3)(2zXzzXzzXz2123)(2zzzzzzzzXZkkkx)2()1()(1、问题的提出在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中，可以从自由集市上某种商品的价格的变化看到如下现象：在某一时期，商品的上市量大于需求，引起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其他商品，一段时间之后，随着产量的下降，供不应求又会导致价格上升，又会有很多生产商进行该商品的生产，随之而来的是商品过剩，价格下降。在没有外界干预的情况下，这种现象会反复出现。如何从数学的角度来描述上述现象呢？2、模型假设(1)设时段商品数量为，其价格为，这里把时间离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。(2)同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，称为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。(3)下一时段的商品数量由上一时段的商品价格决定，称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假设供应函数是一个单调递增的函数。kkxky)(kkxfy)(1kkygx3、模型求解在同一坐标系中同时做出供应函数和需求函数的图形，设两条曲线相交于则为平衡点。因为此时若某个有，则可推出即商品的数量保持在，价格保持在。不妨假设下面考虑在图上的变化如右图所示。),(000yxP0P)(),(0000xfyygxk0xxk),1(,,,00kklxxyyll0x0y01xxkkyx,当给定后，价格由上的点决定，下一时段的数量由上的点决定，又可由上的点决定。依此类推，可得一系列的点图上的箭头表示求出的次序，由图知即市场经济趋于稳定。1x1yf1P1P2xg2P2yff3P),,(),,(),,(),,(234223122111yxPyxPyxPyxPkPkP),(),(lim000yxPyxPkk并不是所有的需求函数和供应函数都趋于稳定，若给定的和的图形如右图所示，得到的就不趋于，此时市场经济趋于不稳定。gfg,,21PP0P图1和图2中的折线形如蛛网，故把这种模型称为蛛网模型。在进行市场经济分析中，取决于消费者对某种商品的需求程度及其消费水平，取决于生产者的生产、管理等能力。当已知需求函数和供应函数之后，可以根据和的性质判断平衡点的稳定性。当较小时，的稳定性取决于和在点的斜率，即当时，点稳定。当时，点不稳定。,,3221PPPPfgfg0P||01xx0Pfg0P|)(||)(|00ygxf0P|)(||)(|00ygxf0P这一结论的直观解释是，需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定。设在点附近取和的线性近似，于是得从上两式中消去得…………………………………………..|)(|1|,)(|00ygxf0Pfg)(00xxyykk)(001yyxxkkky02231201201)1()()()()1)(()()()1(xxxxxxxxxkkkkkk以上个式子相加，有若是稳定点，则应有，所以点稳定的条件是同理点不稳定的条件是01121022132)1()()()()1()()()(xxxxxxkkkkkkk011011])(1[)(])()(1[)1()(xxxxxkkkkk0P0limxxkk0P10P14、模型修正在上述模型的基础上，对供应函数进行改进。下面在决定商品的生产数量时，不仅考虑前一时期的价格，而且考虑了价格，取，在附近取线性近似，则有于是得将上述两式整理得到二阶线性差分方程1kxky1ky)2(11kkkyygx0P)2(20101yyyxxkkk)(00xxyykk)(0101xxyykk),3,2(,)1(22011kxxxxkkk其特征方程为经计算得其特征根结论：若方程的特征根均在单位圆内，则为稳定点。当时，该特征方程有两个实根，因则有，故此时不是稳定点。当时，特征方程有两个共轭复根，共轭复根的模的绝对值为02248)(22,10P8448)(222||20P824)(84)(||2/1222,1要使点为稳定点只需与前面的模型的结果相比，的范围扩大了。这是由于经营管理者的水平提高带来的结果。0P2,商品销售量预测在利用差分方程建模究实际问题时，常常需要根据统计数据并用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。其系统稳定性的讨论要用到代数方程的求根。例3某商品前五年的销售量见右表1。现希望根据前五年的统计数据预测第六年起该商品在各季度中的销售量。第一年第二年第三年第四年第五年1111213151621618224253252627303241214151517由于该问题的数据少，用回归分析效果不一定好。如果认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或者前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。以第一季度为例，以表示第年第一季度的销售量，建立形式如下的差分方程上述差分方程不一定能使所有统计数据吻合，较为合理的办法是用最小二乘法求一组总体吻合较好的数据。即选取使得最小。根据这一方程可以迭代求解以后各年第一季度销售tyt32211ayayayttt321,,aaa53232211][ttttayayay量的预测值。第7年销售量预测值居然小于第6年的，稍作分析，不难看出，如分别对第一季度建立差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程，为此，将季度编号为，令，利用全体数据来拟合求拟合得到最好的系数。即求使得最小。于是得二阶差分方程为由此式可得，这个结果还是较为可信的。,19,2176yy20,2,1t38241ayayayttt321,,aaa209238241321][),,(ttttayayayaaaQ)21(,6957.01941.08737.084tyyyttt1676.19,5869.172521yy1、问题的提出某保险公司的一份材料指出，在每月交费200元至59岁年底，60岁开始领取养老保险金的约定下，男子若25岁开始投保，届时月养老金2282元；假定人的寿命为75岁，是求出保险公司为了兑现保险责任，每月应至少有多少投资收益率（也就是投保人的实际收益率）？2、模型的建立与求解设投保人在投保后第个月所交保险费及利息的累计总额为，那么得到数学模型为分段表示的差分方程其中分别为60岁前所交月保险费和60岁起所领取的月养老金的数目（月），是所交保险金获得的利率，分别是自投保起至停交保险费和至停领取养老金的时间（月），这里，可推出差分方程的解（这里），得kkF1,,1,,)1(1,,1,0,)1(11MNNkqrFFNkprFFkkkkqp,rMN,600,420,2282,200MNqp00MFF于是得到由于，可得如下方程MNkrqrFNkrprFMkkkk,,1,])1(1[,,1,0,]1)1[(