《线性代数》第一章行列式及其运算精选习题及解答

第一章行列式1.1目的要求1．会求n元排列的逆序数；2．会用对角线法则计算2阶和3阶行列式；3．深入领会行列式的定义；4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式；5．灵活掌握行列式按（列）展开；6．理解代数余字式的定义及性质；7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．1.2重要公式和结论1.2.1n阶行列式的定义n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD.....................212222111211=nnnppptpppaaa...)1(212121)...(∑−=.其中是n个数12…n的一个排列，t是此排列的逆序数，∑表示对所有n元排列求和，故共有n！项．nppp...211.2.2行列式的性质1．行列式和它的转置行列式相等；2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号；3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行（列）；4．行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零；5．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即nnnniniinnnnnininiiiinaaaaaaaaaaaabababaaaaLMMMLMMMLLMMMLMMML21211121121221111211=++++nnnniniinaaabbbaaaLMMMLMMML2121112116．把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变．1.2.3行列式按行（列）展开设D为n阶行列式，则有=∑=nKjkikaA1⎩⎨⎧≠==+++jijiDAaAaAajninjiji0...2211=∑=nKjkikaA1⎩⎨⎧≠==+++jijiDAaAaAajninjiji0...2211其中是的代数余子式.stAsta1.2.４克拉默法则１．如果线性非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLMMMMMLL22112222212111212111的系数行列式，则方程组有唯一解0≠DDDx11=（i=1，2，…，n），其中是D中第i列元素（即的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式．iDix2．如果线性齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaLMMMMMLL的系数行列式，则方程组只有唯一零解．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式．0≠D0=D1.2.5一些常用的行列式1．上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积.2．设kkkkaaaaDLMMML11111=，nnnnbbbbDLMMML11112=，则211111111111110DDbbccbbccaaaannnnknnkkkkk=LLMMMMMMLLLMMML.3．范德蒙行列式)(..................1...1111121121ijnjinnnnnaaaaaaaa−=∏≤≤−−−.1.2.6计算行列式的常用方法1．利用对角线法则计算行列式，它只适用于2、3阶行列式；2．利用n阶行列式定义计算行列式；3．利用行列式的性质化三角形法计算行列式；4．利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式；5．利用数学归纳法计算行列式；6．利用递推公式计算行列式；7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式；8．利用加边法计算行列式；9．综合运用上述方法计算行列式.1.3例题分析例1.1排列14536287的逆序数为()(A)8(B)7(C)10(D)9解在排列14536287中，1排在首位，逆序数为0；4、5、6、8各数的前面没有比它们自身大的数，故这四个数的逆序数为0；3的前面比它大的数有2个（4、5），故逆序数为2；2的前面比它大的数有4个（4、5、3、6），故逆序数为4；7的前面比它大的数有1个（8），故逆序数为1；于是这个排列的逆序数为t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B）．例1.2下列排列中（）是偶排列.(A)54312(B)51432(C)45312(D)654321解按照例1的方法计算知：排列54312的逆序数为9；排列51432的逆序数为7；排列45312的逆序数为8；排列654321的逆序数为15；故正确答案为（C）．例1.3下列各项中，为某五阶行列式中带正号的项是（）．(A)(B)(C)(D)5541324413aaaaa5415413221aaaaa5214432531aaaaa5344223115aaaaa解由行列式的定义知，每一项应取自不同行不同列的五个元素之积，因此(A)、(B)不是五阶行列式的项，但(C)应取负号，故正确答案为（D）．例1.4行列式351232113,010101021=−=DDλλλ,若21DD=，则λ的取值为（）(A)2,—1(B)1,—1(C)0,2(D)0,1解按三阶行列式的对角线法则得.若，则，于是0,)1)(1(221=−+=DDλλ21DD=0)1)(1(2=−+λλ1,1−=λ，故正确答案为（B）．例1.5方程组有唯一解，则（）.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321xxxxxxxxxλλλ(A)1−≠λ且2−≠λ(B)1≠λ且2−≠λ(C)1≠λ且2≠λ(D)1−≠λ且2≠λ解由克拉默法则知，当所给非齐次线性方程组的系数行列式不等于0时，该方程组有唯一解，于是令行列式0)1)(2(1111112≠−+=λλλλλ即1≠λ且2−≠λ，故正确答案为（B）．例1.6==2006200420082006D（）．分析对于2、3阶行列式的计算，元素的数值较小时，可以直接采用对角线法则进行计算；但元素的数值较大时，一般不宜直接采用对角线法则进行计算，而是用行列式的性质进行计算．解此题是一个2阶行列式，虽然可以直接用对角线法则计算，但因数值较大，计算较繁，因此要仔细观察分析，用行列式的性质求解．402221003200622008220062004200820061221=−−+−−−=ccccD，故答案为4.例1.7==3214214314324321D（）．分析如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加法)．解这个行列式的特点是各列4个数的和为10，于是，各行加到第一行，得===321421431432101010103214214314324321D101230121012101111103214214314321111−−−−−−=160400004001210111110=−−−=．例1.8设xxxxxxf111123111212)(−=，则的系数为（），的系数为（）．4x3x分析此类确定系数的题目，首先是利用行列式的定义进行计算．如果用定义比较麻烦时，再考虑用行列式的计算方法进行计算．解从的表达式和行列式的定义可知，当且仅当的主对角线的4个元素的)(xf)(xf积才能得出，其系数显然是2.当第一行取4x)1(13=a或)2(14=a，则含或的行列式的项中是不出现，含的行列式的项中是不出现，于是含的项只能是含，，，的积，故的系数为13a14a3x)2(11xa=3x3x12a21a33a44a3x1−．故答案为2，1−．例1.9设0123411222641232211154321=D，则（1）=++333231AAA（），（2）=+3534AA（）,（3）=++++5554535251AAAAA（）．分析此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，充分利用按行（列）展开的计算方法来进行技巧计算．解00123411222221112211154321)(23534333231==++++AAAAA（第2，3行相同）即=0．同理)(2)(3534333231AAAAA++++)()(23534333231AAAAA++++=0于是0，=++333231AAA=+3534AA0．011111333336412322111543211111111222641232211154321245554535251=+=++++rrAAAAA故答案为0，0，0．例1.102007000000002006000200500020001000LLLMMMMMML=D.分析当行列式中有较多零元素时，一般可以采用行列式的定义或按行(列)展开来计算.解此行列式刚好只有n个非零元素，故非零项只有一项：nnnnnaaaa,,,,112211−−−Lnnnnntaaaa112211)1(−−−−L，其中2)2)(1(−−=nnt，因此!2007!2007)1(2)22007)(12007(−=−=−−D．此题也可以按行(列)展开来计算．例1.11计算n阶行列式2111121111211112LMMMMLLL=nD解法1（行（列）加法）因为这个行列式的每一行的n个元素的和都为n+1,所以将第2,3,…,n列都加到第一列上，得),3,2(,2111121111211111)1(21111211112111111nirrnnnnnDinLLMMMMLLLLMMMMLLL=−+=++++=11000010000101111)1(+=+nnLMMMMLLL解法2（加边法）)1,,3,2(211111211111211111210000111+=−==+niccDDinnLLMMMMMLLLL110001010010010100011000011000101001001010001111111121+=++++−−−−+nnrrrnLMMMMMLLLLLLMMMMMLLLL.解法3（利用行列式的性质）1001010100111112),,3,2(21111211112111121LMMMMLLLLLMMMMLLL−−−=−=nirrDin1100001000010111121+=++++nncccnLMMMMLLLL．例1.12计算nnnnnnnyxyxyxyxyxyxyxyxyxD+++++++++=111111111212221212111LMMMLL.解当n=2时，))((11111212221221112yyxxyxyxyxyxD−−=++++=当n≥3时，111212112122111121111()()()0()()()nnnnnnxyxyxyxxyxxyxxyDxxyxxyxxy+++−−−==−−−LLMMMLn．例1.13计算nnnnnnnnxxxxxxaaaaaxaD11221123211000000000000−−−−−−−−+=LLMMMMMMLL其中．),,2,1(0nixiL≠≠解因)1(11111111xaxxaxaD+=+=+=，)1(221121212112xaxaxxxxaxaD++=−+=，归纳推得)1(1121nnnnxaxaxxxD+++=LL．用数学归纳法证明上式,假设当k=n-1时结论成立，即)1(11111211−−−−+++=nnnnxaxaxxxDLL.则当k=n时，将按第n列展开，得nD))(())(()1(122111−−+−−−−−−+=nnnnnnnxxxxaDxDL1221111)1()1(−−−+−−−+=nnnnnnnxxxxaDxLnnnnnnnxaxxxxxDx12211−−−+=L)1(1121nnnxaxaxxx+++=LL即当k=n时结论也成立，故对一切自然数结论都成立．例1.14计算222111222333nnnnDnnn=LLLMMML解（利用范德蒙行列式计算）1113213211111!−−−==nnnTnnnnnDDLMMMMLL)]1([)2()24)(23)(1()13)(12(!−−−−−−−−=nnnnnLLL!2)!2()!1(!L−−=nnn．例1.15计算βαβαβαβαβαβαβα