材料力学课件第四章

第四章弯曲应力杆件承受垂直于其轴线方向的外力,或在其轴线平面内作用有外力偶时,杆的轴线变为曲线.以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲。§1对称弯曲的概念及梁的计算简图力学模型X杆轴纵向对称面F1F2FAFB构件几何特征构件为具有纵对称面的等截面直杆yz形心受力特征横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向对称面内变形特征杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，或任意两横截面间绕垂直于外力作用面的某一横向轴作相对转动对称弯曲构件的几何形状、材料性能和外力作用均对称于杆件的纵对称面X杆轴纵向对称面F1F2FAFB平面弯曲梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合qFeMAyFByFxBAy对称面向纵对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。非对称弯曲构件不具有纵对称面，或虽有纵对称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲变形梁：以弯曲变形为主的杆件静定梁支座反力可以由静力平衡方程求解的梁超静定梁支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁墙梁楼板ql梁按支承方法的分类悬臂梁3（2）简支梁3（2）外伸梁3（2）固定梁6（4）连续梁4（3）半固定梁4（3）均匀分布荷载分布荷载Me集中力偶集中力作用在梁上的载荷形式§2梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图lFaABFAFBFAFsxASFFMxFMA使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。符号规定：Fs＞0Fs＜0M＞0M＜0lFl2FlACDB试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩例题4.1CsFlACAFAMAFAMFFCsCMFlMCFl2FlCDBCsFCMFFCs02FlFlMCFlMCBFDDsFDMFFDs0DM向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力；截开后取左边为示力对象：向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力；截开后取右边为示力对象：向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。求图示外伸梁中的A、B、C、D、E、F、G各截面上的内力。Cm1m1m1m1m1m1m1m1kN3mkN2mkN6AAFBFDEFBGmkN1例题4.2求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的内力m3m3m2kN61212AmkNq2343455CBmkN6kNFA13kNFB5例题4.3一长为2m的均质木料，欲锯下0.6m长的一段。为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处才能使木料锯口处的弯矩为零。ACDBqma6.0xml2例题4.40DMxxqFA21222alqalFMAC0024.14.12122qxxqmx462.0剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图qlABFAFBxqxqlFS2222qxxqlM2ql2ql82ql图示悬臂梁AB,自由端受力F的作用,试作剪力图和弯矩图.例题4.5lABFXFxFSLx0FxxMLx0FFLkNkNm图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.m4mkN40mkN10kN20m1AB例题4.635kN25kNX1kNxFS201101x1120xxM101xX2221025xxFS402x210252222xxxM402x20152520202.525.31kNkNm分布荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用xmmnndxyxxFs)()(xdFxFSS)()(xdMxMdxmn)(xqmn)(xM0sssdFFdxxqFqdxdFs022dMMdxxqdxFMSSFdxdMqdxMdFdxdMqdxdFSs220dxdFsCFS剪力图是水平直线.CdxdM弯矩图是斜直线.0dxdMCM弯矩图是水平直线.qdxdFs剪力图是斜直线.弯矩图是二次抛物线.dxxqdFxxFFSSS21212112xxSSdxxqFF2112xxSdxxFMM若x1,x2两截面间无集中力作用,则x2截面上的FS1等于x1截面上的FS1加上两截面之间分布荷载图的面积.若x1,x2两截面间无集中力偶作用,则x2截面上的M2等于x1截面上的M1加上两截面之间剪力图的面积.qcACDBAFabBFl+-AFBFx+aFAbFBaFaFaF5425.2Fam4kN3mkN23例题4.74.8kNkNmkNkNm突变规律(从左向右画)1、集中力作用处，FS图突变，方向、大小与力同；M图斜率突变，突变成的尖角与集中力F的箭头是同向。2、集中力偶作用处，M图发生突变，顺下逆上，大小与M同，FS图不发生变化。作图示梁的内力图kN3ACDBkNFB2EmkN5.4mkN2kNFA10m1m2m2m156.1x32344.2722例题4.9kNkNm4m2m1mkN4mkN2kN6m14.51.55.55.87kNkNm例题4.10用直接法作图示梁的内力图kN160ACDBkN310EmkN40kN40kN130m1m2m4m2mkN80Fm11303019040120160280340210130例题4.11kNmkNaaqaABCD223qaMaADaqaBC223qaMFBFB’FAMAFDqaFD41qaFFBA47247qaMAqa47qa47qa41qa41247qa245qa241qa2321qa241qa2321qa245qa例题4.12kNkNm叠加法作弯矩图lABqFlABFAlBq＋FqLFF+qLFL1/2qL21/2qL2+FL例题4.13ACBFlm41F2l2lCABF2l2lACFlm41l+Fl41-Fl41+-Fl81Fl41例题4.14kN6mkN2m2m2m2kN6ACDBmkN2m2m2m2+6-4例题4.15+44-结构对称，载荷反对称，则FS图对称，M图反对称ABaqq2qa2qaa2qa2qa2qa2a2a82qa82qa结构对称，载荷对称，则FS图反对称，M图对称2F2F2F2F2Fa2FaABFaaaa2F2FFF§3平面刚架和曲杆的内力图刚架：由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连接的结构。横梁立柱当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，即角度（一般为直角）保持不变。在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。求做图示刚架的内力图qLLABCqLqL/2qL/2qL2qL)(kNFs2qL)(kNFN22qL22qL)(kNmM例题4.16求做图示刚架的内力图2kN/m4m4mABC2kN2kN8kN24kNm82)(kNFs2)(kNFN2488)(kNmM例题4.17画剪力弯矩图技巧总结：1：受力分析——建立平衡方程求末知反力。2：由左向右画时，剪力图按集中力或分布力的方向进行变化，力偶不影响剪力；在集中力处剪力图发生突变，突变值为集中力大小；在分布力段剪力图渐变，总变化值为分布力与梁杆主轴所夹面积；无分布力处剪力图为水平直线，有均匀分布力阶段剪力图为斜直线，分布力集度为一次函数阶段处剪力图为二次曲线。3：由左向右画时，弯矩图可基于剪力图画，但要计入原结构图中的集中力偶。正剪力（主轴上方）产生的弯矩使弯矩图向下变化，负剪力（主轴下方）使弯矩图向上方变化，变化大小为对应阶段弯矩与主轴所夹菜所夹面积；在集中力偶处剪力图发生突变，突变值为集中力偶的大小，顺时针力偶使其向下突变，逆时针力偶使其向上突变。剪力图为水平直线阶段，弯矩图为斜直线，剪力图为斜直线阶段弯矩图为二次曲线，画二次曲线的剪力图阶段时，在剪力为零处为弯矩的极值点，画弯矩图时要计算这一阶段二端点和极值点的弯矩值；如果无零剪力处，弯矩在这一阶段无极值，画弯矩图时一般只要计算这一阶段的二端点弯矩值。分布力的方向指向弯矩图的弯曲方向。无集中力偶作用的刚接点处力偶连续。画剪力弯矩图技巧总结：4：由右向左画时，剪力图按集中力或分布力的反方向进行变化，其它与由左向右画一致。5：由右向左画时，正剪力（主轴上方）产生的弯矩使弯矩图向上变化，负剪力（主轴下方）使弯矩图向下方变化；在集中力偶处剪力图发生突变，突变值为集中力偶的大小，顺时针力偶使其向上突变，逆时针力偶使其向下突变，其它与由左向右画一致。用直接法作图示梁的内力图kN160ACDBkN310EmkN40kN40kN130m1m2m4m2mkN80Fm11303019040120160280340210130例题kNmkN（Q）（M）q=10kN/mBEDACm=3.6kNmP＝3kNa=0.6ma=0.6m2a=1。2mxRARB3kN7kN5kN＋－－1.8kNm2。4kNm1.2kNm1.25kNm＋＋－等截面折杆ABC的A端固定在墙上,自由端承受集中力F=20kN.设L1=2m,L2=1m,θ1=450,θ2=900,试作折杆的剪力和弯矩图12AFkN14.14kN14.14)(kNFs14.1414.14)(kNmM14.1414.1414.14例题4.18C2rrABF图示杆ABC由直杆和半圆组成,试作该杆的内力图.AB:FrM2FFN0SFBC:cos1FrMcosFFNsinFFSFr2Fr)(kNmM)(kNFsF)(kNFNFF例题4.19纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。纯弯曲时梁横截面上的正应力aFACaFBD§4梁横截面上的正应力.梁的正应力条件FFFa实验现象：1、变形前互相平行的横向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。2、变形前垂直于横向线的纵向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的横向线正交，但两条纵向线间相对转动了一个角度。中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。平面假设：变形前杆件的横截面变形后仍为平面。mmnnFF中性层中性轴m1onn2omdxmmnnozyoddxmmnnFFydddyyEEyMM中性轴yzydAAdANFAdAzyMAdAyzMAydAE0AzydAE0AdAyE2ZEIZZEIM1zzIyMzzIyMMZ:横截面上的弯矩y:到中性轴的距离IZ:截面对中性轴的惯性矩dxmmnnozyoMM中性轴yzdAzWxMmaxM中性轴MzzWMmax长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。2lF2lABCbh6h2habcFLFLMB21123bhIZZaBaIyM123213bhhFLMPa65.10bZcBcIyM122213bhhFLMPa47.2（压）例题4.20试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。m4mkNq210020020010082qL竖放ZWMmaxmax6822bhqLMPa6横放ZWMmaxmax6822hbqLMPa12例题4.21图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。2l2lABF4maxFLMkNm164.9650200maxymm6.153mmy4.96maxzyC15050200504.96ZIMymaxmaxMPa09.24ZIMymaxmaxMP