ch06-6-加州数学标准与框架

加州公立学校K–12年级数学框架前言纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇。爱因斯坦(1879–1955)大脑研究研究表明，大脑就像肌肉：越用越发达。虽然许多科学家相信，大脑中的“电路”在青少年阶段已经基本形成，但变换与适用将伴随我们终身.框架目录•第一章有效数学教学的指导原则与要素•第二章加州数学课程标准•第三章分年要项•第四章教学策略•第五章评量•第六章普及性的辅助•第七章老师、学生、家长和行政人员的责任•第八章专业发展•第九章科技的运用•第十章教学资源的评估原则对数学的看法数学—使用抽象符号去描述、排序、解释和预测—已经与人类的存在密不可分。它是一种全球都在说的国际数语，而且在沟通想法上，它的重要性如同口语和文字。框架的目的•指导课程与教材的编写，以符合新的课程标准.•提供实施标准的背景.•说明如何使课程标准适应所有学生.数学推理数学的核心是推理。体验（Sensemaking）与推理有着密切的联系，学生通过演绎推理、归纳推理、空间推理和代数推理去揭示数学真理。教师应该为学生提供大量的推理机会，使学生（包括低年级学生）能够使用逻辑语言，分清相关与不相关的信息与性质，判断集合之间的关系。培养逻辑推理能力。指导原则•实现各种数学活动之间的平衡•教师目标•学生目标•有效数学计划的关键成分实现各种数学活动之间的平衡数学推理平衡数学课程的一个长期存在的问题是，理论与应用之间的平衡。教师的目标1.增加教师的数学课程知识，是透过以标准为本的专业发展。2.提出一个教案，均衡运算和程序技巧、概念理解，和解题。3.经常评量学生迈向数学标准的进度，并随之调整教学。4.在每一学年提供学习，奠定必要的基础，以使得能在能胜任下一(年)级的或接下来的数学课程。5.创造并维持教室环境，以促进所有学生确实理解和自信，方法是透过辛勤作业和持续努力，他们能达到或超越标准。6.提供所有学生一个具挑战的学习经验，这可帮助他们扩大个人的成就，并且提供有意义的机会给学生以超越标准。7.提供其它教学建议和策略，以满足合加州不同学生族群的需求。8.界定特定教室里最成功、有效教学方法，让学习最大化。学生目标•发展程序性技能、概念理解与数学推理.•进行精确的数学交流.•发展逻辑思维.•增强数学思想之间的联系•将数学应用于日常生活•培养对数学美和威力的鉴赏力学生目标当学生深入数学，他们获得的不仅仅是对数学原理的概念上理解，还有纯粹推理的知识和经验。数学最重要目标之一是教导学生逻辑推理，数学推理和概念理解脱离实体内容，它们内化入数学学科里，属于学生学习的较高层次。推理的重要性数学的核心是推理。没有推理，无法作数学。…教师需要提供他们的学生推理，透过解题、推测和思考过程，安排推理的机会给学生，不论是在中。非常年幼的学生有机会……区辨出相关与不相关的讯息或性质，并且判断集合之间的关系，来能促进他们的逻辑推理。达成概念理解、技能训练和问题解决之间的平衡这三个要素都重要，任何一个都不能缺少或者被小觑；然而，所谓的均衡并不是把时间平均分配给这三要素。有时，学生可能在某些作业或任务中专注于某一要素；其它时候则专注于两个或三个全部。概念理解数学对于某些已有了概念理解的学生有意义，他们不仅懂得如何运用技巧，也知道什么时候使用，以及为什么使用这些技巧。他们了解数学的结构和逻辑，并且弹性、有效和适当地运用。在看见并且了解蕴含的概念，他们就居于优势将这套知识运用在新的情境和题目，并能辨识他们所犯的程序错误。程序性技能运算和程序技能是指所有学生应该学会经常且不假思索的使用。学生应该充分练习运算和程序技能并且经常使用它们，才能确保他们熟记；经常使用到这些技能是必要的，才能确保这些技能被复习并且经年牢记。基本的运算技能和程序技能对于不同的数学层级，必须学特定的基本运算和程序技巧，例如：学生需牢记一位数字的加法和乘法运算结果，以及它们延续的减法和除法。自动从长期记忆中提取这些结果的能力，使得更快速并且减少错误地解决比较复杂的题目，例如基本算术的多步骤题目练习对技能熟练的重要性1.学生必须要练习以达到熟练技能。练习应该多样且兵该包括回家作业和教室活动。老师、家长和学生都需知道，学生必须投入足够的时间和努力去学习某项技能，并且长期保有。2.基本运算和程序能力发展一段时间，则其深度和复杂度会经年加深。3.基本运算和程序技能的发展，需要学生能厘清不同运算过程之间的差异，这必须先了解各程序的意义。唯有这样，学生才能够了解何时使用学过的技能。4.为了要保有技能，学生必须经常练习。问题解决解数学题与目标有关的活动，牵涉到运用技巧、理解以及经验，来解决全新的、有挑战性的或复杂的数学情境。解题牵涉直接朝向数学目标的一系列动作，例如在解决一道应用题，任务要用到一连串的数学程序和待解题目的概念表征。问题解决的三个环节题目以许多形式出现，有些题目简单而常见，供学生练习以发展技巧；其它则题目比较复杂，需要花较长时间完成。不论这些题目的性质如何，要求学生解的这类题目，重要的是以比较抽象的情境均衡了真实世界的情境。解题程序通常有下列步骤：1.适切陈述、分析和转译2.整合和表征3.解题和证明融合当学生运用基本的运算和程序技能及理解，去解决新的或复杂的题目时，他们的基本技能增强了；挑战性的题目变得平常，同时他们的概念理解加深了。他们就把数学当作是解决教室外问题的一种方法。因此，学生透过解决不同难度题目、各个数学发展过程的解题经验，增长他们的能力和毅力。评价1.评量要符合教学、引导教学。经常评量学生以确定他们是否稳健地迈向标准；而且这个评量的结果有助于设定教学的优先级、调整教材教法。2.评量因应不同的目的而设计，评量学生在数学课中的程度，必须涵盖广泛的标准，这些大范围的评量测学生是否具有必备的知识，并且允许学生呈现对数学的完全理解。检视学生每日或每周的进度，需要一套快速且聚焦的测量工具，总括性的评量用于在一系列课程或一门课末，提供特定且详细的信息，有关已经达到或还没有达到哪些标准。3.评量可以改进教学，当教师使用结果用来分析学生学过的，然后重复教导困难的概念。教学教学的品质是有效数学教学规划中唯一最重要的要素。国际比较显示，数学教学的品质和学生的表现之间有高度相关。在一个有效的教学规划里：1.教师们深度理解课程标准及他们所要教的数学，不断努力增进他们的课程知识。2.教师们可以选择有研究导向的教学策略，适用于教学目标和学生需求。3.老师根据目标有效地组织课程，以达到标准并指引学生的学习数学。4.教师们运用评量结果引导教学。教学策略没有单一种教学法是最好或最适用于所有情境。教师对于任何已知课程的教学策略有广大的选择，例如：教师可能使用直接讲授、探索、课堂讨论与练习、小组、个别化及动手操作。二阶段模式（传统）•在第一阶段，在学生的观看中，教师呈现一个新概念、演算或数学策略；•在第二阶段，学生被要求独立作业去应用新信息、经常完成作业单，此时教师可能（或可能不会）监督学生操作，并且给予回馈。三阶段模式（提倡）•在第一阶段教师介绍、证明或解释新概念或策略、提问，并且检核了解；此时学生积极参与，不只是观察老师的讲解或证明；•第二个阶段是过渡阶段，设计的目的在于造成独立应用新概念或说明过的策略。•在第三阶段学生独立作业。然而，和传统课程相比，第三阶段相当简短，而不是占据大部分的上课时间。这个阶段往往是评量，评量的范围是学生所学，以及他们如何将知识或技巧用到更广泛的数学领域教学要求1.一课或一系列课程，应该聚焦在一个明确的教学目标，与数学课程标准有关。2.课程目标应该促进学生的计算与程序技能、概念了解、数学推理，或综合上述能力。3.一课或一系列课程的教学重点不只「涵盖」教学内容而已，还要在先备知识的基础上为未来学习预作准备。最后，了解每一课的目标在该年级课程标准中的脉络、在较低年级的课程，以及在较高年级的课程。能力要求概念能力知道要做什么程序能力知道怎么做数学推理能力知道何时及何地去做清楚了解如何达到目标（清楚某些特定程序可以达到目标）能真正达到目标的行为清楚了解在情境中可行的概念能力和程序能力程序能力•学习数学程序或演算是既漫长又沉闷的过程。为了记住数学程序，学生必须练习使用它们，学生也应该将某个程序运用在各种不同类型的题目，有典型的程序；然而，练习并非只是一遍又一遍地解决相同问题或类似题，应该少量练习（大约一天20分钟），而且应该包括各种题目。•学生应该可以自动地将程序应用到各种适当的问题。自动化是指能很快地、不失误，而且不需学去思考要做什么。过度练习分布于几个月甚或几年中，可能有助于帮助学生在运用一些数学算法则时达到自动化。概念能力促进学生对于某个或某类问题的概念理解，其重要性等同于发展学生的计算与程序技能；没有概念理解，学生会经常误用解题程序。比较特别的是，他们往往把原本只适用在某些问题的程序，误用在其它不适用的问题。教学时间一而再的研究已经显示，作业时间长短和学生学习成之间有关。第一优先应该给数学教学，而且教学时间应该避免被打扰。在一个有效的数学教学规划中：1.安排足够的时间给数学课，所有学生每天至少接受50到60分钟的数学课（不包括家庭作业）；对于数学成绩低于年级标准的所有学生，无论原因为何，都应该给予更多的指导时间。鼓励每个学生在整个高中阶段选修数学课。教学时间1.学习时间延伸到家庭作业，当学生成熟时提高难度和作业时间，家庭作业必须评分并检讨。家庭作业是练习先前教过的技巧，或令学生使用以前学过的知识和技巧去解决新问题。依不同年级给予适当的家庭作业量，至少在低年级如此，可将焦点放在独立练习和应用教过的技巧；至于高程度学生，作业则可以用来让学生探究新概念。2.在数学课大部分时间中，鼓励学生做一个积极的参与者。所谓的「积极」指的是在该时间里，学生必须思考数学题目或是做数学。3.数学教学最大化，并且避免干扰，例如被召去办公室、公共广播或课外活动。回家功课没有课外学习，学生的成就不会改善。回家功课应该在小学一年级就开始指派，而且随着年级的增加，也要增加其复杂的程度与练习时间。作为一个有效的工具，回家功课应该效延续上课的内容；它的目的以及跟上课内容的关系，必须对教师、学生与家长都很清楚。教学资源1.教学资源注重涵盖的深度，最具深度的教学资源满足最严谨、最优先的标准，提供大量的练习。2.教学资源应取得下列三者的均衡：运算和程序技巧、概念理解，和解题；并强调这三者之间的关连性。3.教材资源提供大量的机会给学生去说明他们的想法，无论是口述或书写的方式、正式或非正式。4.教学资源想法和教具，适于任何教室里的各种学生。它们提供关于如何重教一个概念建议；提供额外的练习给落后的学生；或浓缩课程教学，使得高程度的学生专注于新教材。教学分组和进度研究显示，比较会影响学生学习成就的是教学内容，而不是学生如何分组（Kulik1992;Rogers1991）。教育工作者的首要焦点应该总是放在教学品质，分组教学和进度只是教学工具，教育工作者可用来提高教学效果，这两者既不在教学目的之内，也不能成为教学目的本身。教学分组和进度1.有效的数学课程规划：（1）根据个别班级的变量选择分组。（2）根据学生表现或例行评量结果，改变分组策略。2.明智地使用合作式的分组，由老师给予或指导探索延伸或补充初始教学。尽管学生常可从彼此间的讨论互相学习，并且从有机会彼此讨论中受益；然而，教师是教室中主要引导者，在合作学习中担任主动的指导者；当使用了合作学习，应该引导学生朝往最终的目的，精熟标准并且对自己的学习负责。3.以教学需求为取向的跨学年混班分组教学，在学年开始时增加了教师和行政人员在课表安排上的困扰，可是稍后许多教师发现，实行跨年级或跨班级分组教学后更自由，因为它减少了教师在一堂课中必须准备教导的学生层级数。资优生有个分组的纵贯研究，其研究对象是1000多位中低年级资优学生，在特殊学校特殊班级里接受充实课程和加速课程。研究结果发现，和没有接受特殊课程的资优生比起来，这些学生在语言艺术、数学、科学，以及社会科学的成就表现有很明显的进步(Delcourt等人,1994)。教室管理1.教师正